Exercice de sup : suite récurrente

[prepamath]

Bonjour,

Voici mon exercice :
On considère la suite définie par
$$ u_{n+1}=e^{1-u_{n}} $$
converge-t-elle?

Alors, clairement, je vois que cette suite converge. En dessinant la courbe c'est évident : les termes passent de droite à gauche autour de 1 tout en s'en approchant...
Mais je n'arrive pas à le formaliser...

Merci pour votre aide

[Poliakoff]

L'étude de la fonction x --> exp(1-x) - x se passe pas bien?

[matmeca_mcf1]

Est ce que vous avez vu des résultats sur la monotonie de la suite définie par $ u_{n+1}=f(u_n) $ lorsque $ f $ est croissante?

[Lily1998]

Avec le théorème de la limite monotone ça marche bien non ?

[jmctiti]

Bonjour

Regarde la partie《suites récurrentes》sur ce lien http://www.les-maths-en-prepas.fr/Exerc ... reChapitre
tu y trouveras des exemples d'études de suites récurrentes, avec passage de ce que l'on voit sur le dessin à une justification théorique.

Bonne journée

[zygomatique]

salut

l'outil numérique permet de voir ce qui se passe et nous guide vers une issue

1/ mis à part son premier terme la suite est positive

2/ $ \dfrac {u_{n + 2}} {u_{n + 1}} = e^{u_n - u_{n + 1}} $ et $ \dfrac {u_{n + 2}} {u_n} = e^{u_{n - 1} - u_{n + 1}} $ (dé)montrent ce que l'on voit :

les sous-suites (de rang) paire et impaire sont monotones et de sens contraires et le sens de monotonie est donné par l'ordre des deux premiers termes (et évident lorsque le premier terme est négatif)

d'ailleurs puisque $ 1 = e^{1 - 1} $ le sens de variation est donné en comparant le premier terme à 1


on aimerait appliquer le théorème des suites adjacentes ... malheureusement la troisième condition ne vient pas ....

et alors il faudra donc utiliser un outil plus puissant comme proposé au-dessus ...

une remarque : si on pose $ f(x) = e^{1 - x} $ alors f est positive et décroissante

et donc h = f o f est croissante et permet d'appliquer aux deux sous-suites les résultats connus et que j'ai redonné :

h croissante et $ v_{n + 1} = h(v_n) $ => (v_n) est monotone