SUP - Espaces vectoriels

[Jufi]

Bonsoir à tous,
Je créer ce post car j'aurai besoin d'un petit peu d'aide pour un exercice sur les espaces vectoriels que j'ai eu en khôlle. Voici l'énoncé:

Soit E un K-ev et f un endomorphisme de E tel que : f^2 - 3f + 2Id = 0
a) Montrez que f est inversible et exprimer son inverse.
b) Établir que: Ker(f - 2Id) et Ker(f - Id) sont supplémentaires dans E.

Pour la question a) pas de soucis, je trouve: f^(-1) = f●(-f + 3) * (1/2).
Pour la question b) je fais presque tous sans soucis, donc j'exprime les deux noyaux ce qui me donne:
--> Ker(f-2Id) = {x de E | f(x) = 2x}
--> Ker(f-Id) = {x de E | f(x) = x}
Ensuite j'ai montré que l'intersection de mes deux noyaux était triviale, je vous passe le raisonnement mais vient l'endroit où je bloque:
Montrer que E = Ker(f-2Id) + Ker(f-Id). Je pense qu'il faut procéder par analyse et synthèse donc je prend un élément de E et je souhaite montrer qu'il s'écrit comme un élément du premier noyau + un élément du second. Cependant si je prend X dans E et x1 dans Ker(f-2Id) et x2 dans Ker(f-Id) j'ai:

Analyse: On suppose qu'il existe la décomposition de X que je souhaite et on a:
X = x1 + x2 donc f(X) = f(x1) + f(x2) = 2*x1 + x2
Je suis bloqué ici je ne sais pas si c'est le chemin qu'il faut prendre mais je n'ai trouvé aucune solution . Merci d'avance pour votre aide !
Jufi.

[matmeca_mcf1]

Est-ce que vous avez vu Bézout sur les polynômes? Sinon, on va le faire à la main:
1=(X-1)-(X-2) donc x=(f-Id)(x)-(f-2Id)(x)

[Jufi]

Bonsoir, merci pour votre réponse mais il y a quelque-chose que je ne comprend pas. Si je développe votre inégalité et que j'écris le raisonnement dans le sens inverse j'ai:
X = X donc X = f(X) - f(X) + 2X - X donc X = f(X)-X - (f(X)-2X) donc X = (f-Id)(X) - (f-2Id)(X). On a donc X qui est décomposé mais est-ce que (f-2Id)(X) et (f-Id)(X) appartiennent à Ker(f-2Id) et Ker(f-Id) car si oui ces deux élément composés respectivement par (f-2Id) et (f-Id) devraient valoir 0 mais ce n'est pas le cas il me semble. Est-je raison ?

[matmeca_mcf1]

Que vaut (X-1)(X-2)? Que vaut $ (f-Id)\circ(f-2Id) $? Et que vaut $ (f-2Id)\circ(f-Id) $?

[Jufi]

Merci j'ai compris ! En utilisant la propriété de l'énoncé qui dit que f^2 - 3f + 2Id = 0 je peux prouver que les deux compositions valent 0 et donc que les deux éléments de la décomposition de X appartiennent bien aux deux noyaux.

[Émil]

Salut,
Tu as même à titre informatif cette jolie propriété je trouve (plutôt facile à montrer):
Soit T un endomorphisme, un polynôme F s'écrivant comme F = h * g, polynômes non constants avec gcd(h,g) = 1, tu as : ker F(T) = ker h(T) {+} ker g(T).
Si tu montres cette propriété ton exo est fini
A+ !