Equation parametrique

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nass956
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Equation parametrique

Message par nass956 » dim. juin 03, 2018 2:01 pm

Bonjour je n arrive pas a comprendre pourquoi quand p > = 2 il n y a pas de solution et pourquoi on rejette quand p=4 . Merci d avance

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bullquies
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Re: Equation parametrique

Message par bullquies » dim. juin 03, 2018 2:48 pm

8(2-p)x^2 = (p-4)^2

(p-4)^2 est positif ou nul

8x^2 est positif ou nul.

Donc (2-p) doit l'être aussi. C'est-à-dire p<=2.

Et si p=2 ton équation devient 0=4, ce qui est aussi impossible. Donc le cas où p=2 est exclus. il reste p<2

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jmctiti
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Re: Equation parametrique

Message par jmctiti » lun. juin 04, 2018 10:36 am

Bonjour

Il faut quand même commencer par parler du domaine de définition, à savoir
\( x^2 \geq p \) et \( |x| \geq 1 \).

Ensuite, on peut mener un peu mieux le calcul et surtout garder trace des élévations au carré.
  • Une première élévation au carré donne
    \( (x^2-p)+4\,(x^2-1)+4\,\sqrt{(x^2-p)(x^2-1)}=x^2\quad\quad (1) \)
    mais pour avoir l'équivalence, il faut garder \( x \geq 0 \)
    \( \)
  • L'équation (1) s'écrit aussi
    \( 4\,\sqrt{(x^2-p)(x^2-1)}=p-4(x^2-1)\ \)
    \( \)
  • Une nouvelle élévation au carré donne
    \( 16\,(x^2-p)(x^2-1)=\big(p-4(x^2-1)\big)^2\quad\quad (2) \)
    avec équivalence si l'on garde la condition \( p-4(x^2-1) \geq 0\quad\quad(*) \)
    \( \)
  • En réduisant proprement (2) avec mise en facteur du $(x^2-1)$ qui apparaît presque partout, on a
    \( 8\,(x^2-1)\big(2\,(x^2-1)+p-2\,(x^2-1)\big)=p^2 \)
    soit encore : \( 8\,(x^2-1)(2-p)=p^2\quad\quad (3) \)
Il est alors facile de résoudre
  • Si \( p \geq 2 \), l'équation (3) n'a pas de solution,
    il en est donc de même de l'équation donnée.
    \( \)
  • si \( p < 2 \), alors (3) a une solution positive qui est donnée par
    \( \displaystyle x^2 = \frac{p^2}{8(2-p)}+1=\frac{(p-4)^2}{8(2-p)} \)
    \( \)
    La condition \( x^2 \geq 1 \) est alors trivialement vérifiée.
    \( \)
    Il en est de même de \( x^2 \geq p \) grâce à (2).
    \( \)
    Il reste à vérifier la condition ($*$) qui s'écrit
    \( \displaystyle 0 \geq p - 4\,(x^2-1) = p - \frac{4\,p^2}{8(2-p)}=\frac{p\,(4-3\,p)}{2(2-p)} \)
    et fournit la condition \( 0 \leq p \leq \frac{4}{3} \)
En général, je ne suis pas fan de ces résolutions par équivalence et je préfère y aller par analyse/synthèse, mais ici c'est quand-même plus économique.

nass956
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Re: Equation parametrique

Message par nass956 » ven. juin 08, 2018 5:56 pm

a okey et j ai du mal a comprendre comment on sépare les 3 domaine de définition de p à la fin ( p<0 ; 0<=P<= 4/3 et 4/3< P <2 )

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bullquies
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Re: Equation parametrique

Message par bullquies » ven. juin 08, 2018 6:18 pm

on sépare les cas pour pouvoir enlever les valeurs absolues et résoudre

nass956
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Re: Equation parametrique

Message par nass956 » sam. juin 09, 2018 7:51 pm

il n y aurait pas une technique a savoir pour separer ?

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bullquies
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Re: Equation parametrique

Message par bullquies » sam. juin 09, 2018 7:58 pm

quelle technique ?

Tu regardes ce qu'il y a dans la valeur absolue et tu vois dans quel cas c'est positif ou négatif.


Je prends un exemple plus simple.

trouver tous les p tels que |p| + p < 4, comment tu résous ça ?

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