Aide pour une recurence

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Herboratiliste
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Aide pour une recurence

Message par Herboratiliste » sam. juin 09, 2018 10:26 pm

Bonsoir, j'aimerais démontrer par recurrence que pour tous i appartenant à N*

(X+1)^i-X^i est différent de 0

L'initialisation est évidente mais je bloque sur l’hérédité, je vous remercie d'avance pour vos conseils

Drake's
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Re: Aide pour une recurence

Message par Drake's » sam. juin 09, 2018 11:45 pm

Binôme de Newton puis tu dis qu'une somme de termes positifs ne vaut 0 que si tous les termes sont nuls.
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noro
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Re: Aide pour une recurence

Message par noro » dim. juin 10, 2018 4:53 am

Salut,
La récurrence est inutile: si \( P_i(X) = (X+1)^i-X^i \) alors \( P_i(0) = 1, \forall i \geq 1 \) donc \( P_i\neq 0 \)
Nothing happened.

Herboratiliste
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Re: Aide pour une recurence

Message par Herboratiliste » dim. juin 10, 2018 11:26 am

Je ne comprends pas pourquoi la recurrence est inutile
et je ne vois pas non plus comment faire avec le binôme

rickyy
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Re: Aide pour une recurence

Message par rickyy » dim. juin 10, 2018 12:25 pm

noro a montré que pour n'importe quel $i$, le polynôme $P_i$ prend la valeur $1$ quand tu l'évalues en $0$. Du coup, il ne peut pas être le polynôme nul, vu qu'il y a un endroit où il n'est pas nul.
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Drake's
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Re: Aide pour une recurence

Message par Drake's » dim. juin 10, 2018 7:55 pm

Effectivement, j'ai supposé qu'il voulait l'egalite pour tout x dans R (et non pas une égalité entre polynomes).
Avec binôme cela se montre bien et sans récurrence... Où bloques-tu?
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zygomatique
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Re: Aide pour une recurence

Message par zygomatique » lun. juin 11, 2018 9:37 pm

salut

on peut trouver une relation de récurrence entre les polynomes P_n :

\( P_{n + 1} (x) = (x + 1)^{n + 1} - x^{n + 1} = (x + 1)P_n(x) + (x + 1)x^n - x^{n + 1} = (x + 1)P_n(x) - x^nP_1(x) \)

mais jamais tu ne pourras démontrer une telle propriété (ton exercice) par récurrence ... ou en utilisant cette relation ...

regarde simplement ce que vaut \( P_n(-1/2) \) ...


même avec un polynome aussi simple que \( P_n(x) = x - n \) : jamais tu ne pourras démontrer par récurrence la relation : \( P_n \) s'annule en n => \( P_{n + 1} \) s'annule en n + 1 qui est pourtant vraie
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE

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