Famille libre

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Juliaaa
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Famille libre

Message par Juliaaa » dim. juin 10, 2018 3:48 pm

Bonjour, nous travaillons en ce moment sur les espaces vectoriels et je rencontre des difficultés à trouver la dernière question d'un exercice, que voici :

Soit la famille (x², e^x) avec x² et e^x appartenant à R dans R
Il faut trouver si la famille est libre et si elle est génératrice?

J'ai posé a et b appartenant à R et je cherche a démontrer que
ax²+be^x = 0 entraîne a et b =0
Mais je suis bloqué ensuite

Merci beaucoup

rickyy
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Re: Famille libre

Message par rickyy » dim. juin 10, 2018 3:53 pm

Si tu as montré que $a = b = 0$, tu as bien montré que la famille est libre.
Pour savoir si elle est génératrice, ça dépend de ce que tu essaies de montrer. Qu'elle l'est ou pas ?
MPSI-MP*, Hoche -> ENS Rennes, Maths -> Doctorat, chargé de TD à l'ENS Rennes. -> Prof.

Juliaaa
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Re: Famille libre

Message par Juliaaa » dim. juin 10, 2018 4:03 pm

Je n'ai pas réussi à démontrer que a et b étaient nuls
Je sais qu'elle n'est pas génératrice, toutes les fonctions de R dans R ne peuvent pas s'écrire comme combination de x² ou exponentiel; mais je ne sais pas comment le démontrer

matmeca_mcf1
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Re: Famille libre

Message par matmeca_mcf1 » dim. juin 10, 2018 4:12 pm

Pour montrer qu'il s'agit d'une partie libre, vous pouvez dériver l'égalité (qui doit être vraie pour tout x) deux fois. Pour montrer que ce ne n'est pas une partie génératrice, posez-vous la question suivante: L'espace des fonctions (continues? de classe \( \mathcal{C}^\infty \) est-il de dimension finie?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

rickyy
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Re: Famille libre

Message par rickyy » dim. juin 10, 2018 4:16 pm

(Au temps pour moi, j'avais mal lu)
Pour montrer qu'elle n'est pas génératrice, il faut trouver une fonction continue qui ne s'écrit comme combinaison linéaire de ces deux fonctions.
Une méthode qui marchera certainement est de prendre une fonction continue (à peu près au hasard) et de raisonner par l'absurde en supposant qu'elle est combinaison linéaire des deux.
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Skizzy
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Re: Famille libre

Message par Skizzy » dim. juin 10, 2018 4:35 pm

Hello,

Pour montrer que \( (x^2, e^x) \) une famille libre de \( \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \), tu peux aussi multiplier par \( x \) et passer à la limite en \( -\infty \). Tu pourras conclure en utilisant un théorème de croissance comparée, il me semble.

C'est une technique qu'on peut réutiliser dans cet exercice par exemple :
Pour tout entier \( 0 ≤ k ≤ n \), on pose \( f_{k} : \mathbb{R} → \mathbb{R} \) la fonction définie par \( f_{k}(x) = e^{k.x} \).
Montrer que la famille \( (f_{k})_{0≤k≤n} \) est une famille libre de \( \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \).
Modifié en dernier par Skizzy le lun. juin 11, 2018 9:58 pm, modifié 1 fois.
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Juliaaa
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Re: Famille libre

Message par Juliaaa » dim. juin 10, 2018 5:07 pm

Merci, j'ai réussi pour la famille libre

J'ai essayé par l'absurde donc j'ai prit x et en posant x=ax²+be^x
en prenant x=0 on obtient que b=0 et en prenant x=1 on obtient a=1/2, mais lorsque l'on prenant x=2 les deux valeurs trouvées précédemment ne conviennent pas donc on peut déduire que x ne s'écrit pas comme combinaison linéaire des deux fonctions. Est ce que cela suffit?

JeanN
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Re: Famille libre

Message par JeanN » dim. juin 10, 2018 5:40 pm

Oui mais dans ta rédaction, essaye de ne pas confondre fonction et valeur prise par une fonction
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jmctiti
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Re: Famille libre

Message par jmctiti » lun. juin 11, 2018 7:59 am

Bonjour

Pour avioir une redaction d'une question analogue distinguant bien entre fonction et valeur prise par la fonction,
tu peux regarder l'exo 23 (partie I.2.C) de http://www.les-maths-en-prepas.fr/Cours ... PSI#Sect12

Bonne journée

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