Aiguille de Buffon

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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burgerking
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Aiguille de Buffon

Message par burgerking » dim. juin 10, 2018 7:47 pm

Bonjour,
Vous connaissez certainement le problème de l'aiguille de Buffon, où l'on considère un parquet infini rayé par des droites parallèles distantes d'une longueur d. On jette sur ce parquet une aiguille de longueur a, et si on considère X la variable aléatoire entière qui décompte le nombre d'intersections
de l'aiguille avec les droites rayant le parquet, on peut montrer que E(X)=2a/πd. De là, on voit bien comment généraliser à une aiguille qui serait une ligne polygonale, par linéarité de l'espérance. Toutefois, mon problème vient de la généralisation suivante : on considère une aiguille qui serait une courbe C1 du plan de longueur finie a, et on veut montrer que la formule précédente tient toujours, ce qui, dans toute la littérature où j'ai pu chercher, est présenté comme un résultat démontré "proprement" par Ramaley dans cet article en bas de la deuxième page
http://web1.sph.emory.edu/users/hwu30/t ... fon.69.pdf
La démo est simple, mais il me semble, sauf erreur, que l'on a besoin pour conclure d'une interversion limite intégrale qui n'est pas triviale, ce qui me laisse perplexe :?

Leo11
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Re: Aiguille de Buffon

Message par Leo11 » lun. juin 11, 2018 4:27 am

Ou vois tu une interversion ?

burgerking
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Re: Aiguille de Buffon

Message par burgerking » lun. juin 11, 2018 10:27 am

Si l'on considère $$ (L_{i})_{i} $$ une suite de lignes polygonales de longueur $$ a_{i} $$ approchant la courbe de longueur a.

On note $$ X_{i} $$ les variables aléatoires décomptant le nombre d'intersections de la i-ème ligne polygonale avec le parquet et X celle de l'aiguille

Alors
$$ E(X_{i})=\frac{2a_{i}}{\pi d}\underset{+\infty }{\rightarrow} \frac{2a}{\pi d} $$
Donc il faut montrer que $$ E(X_{i}) \underset{+\infty }{\rightarrow} E(X) $$ pour conclure.
J'ai pensé à utiliser le théorème de convergence dominée (version espérance) pour conclure aussi, mais j'ai du mal à justifier les hypothèses.

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