Exo oral

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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prepamath
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Exo oral

Message par prepamath » lun. juin 11, 2018 6:04 pm

Bonjour, je boque sur cet exo :

Soit \( x_{n} \) suite de réels tel que la partie

{ t dans \( \mathbb{R} \) tels que $$ sin(x_{n}t)\rightarrow 0 $$ }

est d'intérieur non vide.

Que peut-on dire de $$ x_{n} $$ ?

J'ai envie de dire \( x_{n}\rightarrow 0 \) ??

Qu'en pensez vous?

alvaare
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Re: Exo oral

Message par alvaare » lun. juin 11, 2018 6:33 pm

Je suis d'accord avec ton intuition. Si on écrit les hypothèse, on a:
\( \exists \delta, \forall \epsilon < \delta, sin(x_n(t+\epsilon)) \rightarrow 0 \) Alors:
\( sin(tx_n)cos(\epsilon x_n) + cos(tx_n)sin(\epsilon x_n) \rightarrow 0 \) Or par hypothèse le premier terme tend vers 0 et le deuxième vers \( (-1)^k sin(\epsilon x_n) \) donc il faut que:
\( \forall \epsilon < \delta, \epsilon x_n \rightarrow \pi \mathbb{Z} \)
Ce qui me semble impossible si \( x_n \) ne tend pas vers 0, à formaliser.
Modifié en dernier par alvaare le mar. juin 12, 2018 12:45 pm, modifié 1 fois.
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789
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Re: Exo oral

Message par 789 » mar. juin 12, 2018 9:31 am

Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre \( \frac{\epsilon}{\pi} x_n \) qui doit en même temps tendre vers 0 modulo \( \pi \) et modulo 1, ce qui permet de conclure.

Edit: Ca ne permet pas de conclure :(
Modifié en dernier par 789 le mar. juin 12, 2018 10:31 pm, modifié 1 fois.
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Nabuco
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Re: Exo oral

Message par Nabuco » mar. juin 12, 2018 10:41 am

789 a écrit :
mar. juin 12, 2018 9:31 am
Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre \( \frac{\epsilon}{\pi} x_n \) qui doit en même temps tendre vers 0 modulo \( \pi \) et modulo 1, ce qui permet de conclure.
C est possible de tendre vers 0 mod 1 et pi sans tendre vers 0... En effet pour tout entier N>0, il existe des entiers p et q tels que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N car si on considère 0, pi,... Npi, comme il y a N+1 nombres deux parmi ceux ci on leur partie décimale entre k/N et (k+1)/N. Leur différence est donc sous la forme p pi pour p entier et il existe q tel que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N. Pour contredire le propos précédent il suffit de prendre xn une suite telle que pour tout n xn est entré p pi et q associés à n, elle converge alors vers 0modulo 1 et pi

K-ter
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Re: Exo oral

Message par K-ter » mar. juin 12, 2018 5:15 pm

Salut, c'est un sujet d'oral de quelle école ?

Il me semble difficile d'éviter de passer par le théorème de Baire (une union dénombrable de fermés d'intérieur vide de \( \mathbb{R} \) est d'intérieur vide).
Remarquons que les seules valeurs d'adhérence possibles de la suite sont \( 0 \) et \( \pm\infty \), donc il suffit de montrer qu'elle est bornée
Quitte à changer les signes, on peut supposer qu'il existe \( 0<u<v \) tels que \( \left] u, v\right[ \) soit inclus dans l'ensemble des \( t \) tels que \( sin(tx_n)\rightarrow 0 \)
On peut alors regarder à \( \epsilon \) fixé l'union \( \cup_N F_N \) avec \( F_N=\{t\in\left] u, v\right[, \, \forall n\geq N, |\sin(tx_n) |\leq \epsilon\} \).
Par hypothèse cette union est d'intérieur non vide, donc l'un des fermés \( F_N \) est d'intérieur non vide, disons \( \left] u', v'\right[\subset F_N \)
Ainsi, pour \( n\geq N \),
$$x_n\in \bigcap_{t\in\left] u', v'\right[} \frac{1}{t}\left(\pi\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/2,\pi\epsilon/2\right[\right) \\ \implies x_n\in\bigcap_{t\in\left] u', v'\right[}\left( \frac{\pi}{t}\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[\right) $$Lorsque l'on a \( x_n=k\pi/t+\delta=k'\pi/t'+\delta' \) avec \( k, k' \) entiers, \( t, t'\in\left] u', v'\right[ \) et \( \delta, \delta'\in\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[ \), il vient :
$$|\frac{t'} {t} k-k'| =\frac{t'} {\pi} |\delta-\delta'|\leq \epsilon v/u $$Donc si \( \epsilon v/u<1/2 \), alors \( k'=\left[kt'/t\right] \) (l'entier le plus proche).
De là, pour tout \( t'\in\left]u', v'\right[ \) (\( t \) reste fixé), on a :
$$|\frac{t'} {t} k-\left[\frac{t'} {t} k\right] |<1/2$$Remarquons que si \( |k| \) supérieur à une constante C dépendant uniquement de \( u' \) et \( v' \), l'intervalle \( \left] \frac{u'} {t} k, \frac{v'} {t}k \right[ \) contient un demi-entier, de sorte à violer l'inégalité précédente pour un certain \( t' \). D'où une borne sur \( k \), puis \( \forall n\geq N, |x_n|\leq C\pi/u' +\pi\epsilon/(2u) \)
Donc la suite est bornée et on a le résultat

789
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Re: Exo oral

Message par 789 » mar. juin 12, 2018 10:31 pm

Nabuco a écrit :
mar. juin 12, 2018 10:41 am
789 a écrit :
mar. juin 12, 2018 9:31 am
Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre \( \frac{\epsilon}{\pi} x_n \) qui doit en même temps tendre vers 0 modulo \( \pi \) et modulo 1, ce qui permet de conclure.
C est possible de tendre vers 0 mod 1 et pi sans tendre vers 0... En effet pour tout entier N>0, il existe des entiers p et q tels que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N car si on considère 0, pi,... Npi, comme il y a N+1 nombres deux parmi ceux ci on leur partie décimale entre k/N et (k+1)/N. Leur différence est donc sous la forme p pi pour p entier et il existe q tel que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N. Pour contredire le propos précédent il suffit de prendre xn une suite telle que pour tout n xn est entré p pi et q associés à n, elle converge alors vers 0modulo 1 et pi
Très juste, je me suis un peu emballé
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Nabuco
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Re: Exo oral

Message par Nabuco » ven. juin 15, 2018 11:15 am

Je pense qu on peut s en sortir juste avec Cvd
Si on suppose que sur [a,b] non trivial sin(xn t) tend vers 0 par cvd l intégrale de a à b de |sin(xn t)| tend vers 0. Or elle vaut l intégrale de axn à bxn de |sin(t)| divisée par xn ( quitte à considérer |xn| xn est positive quitte à extraire xn est non nulle apcr sinon xn converge vers 0)
Ensuite on dit juste que quitte à extraire xn converge ou tend vers l infini. Si xn converge l.intégrale ne tend pas vers 0 si la limite de xn n est pas nulle.
Si xn diverge on minore |sin(t)| par sin(t)^2 qu on linéarise. On obtient une limite de 1/2 ce qui est absurde. Donc la suite converge vers 0.
Ça me semble être un peu plus tordu que Baire mais ça reste dans le cadre du programme

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