Exo oral

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Exo oral

Message par prepamath » 11 juin 2018 18:04

Bonjour, je boque sur cet exo :

Soit $ x_{n} $ suite de réels tel que la partie

{ t dans $ \mathbb{R} $ tels que $$ sin(x_{n}t)\rightarrow 0 $$ }

est d'intérieur non vide.

Que peut-on dire de $$ x_{n} $$ ?

J'ai envie de dire $ x_{n}\rightarrow 0 $ ??

Qu'en pensez vous?

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Re: Exo oral

Message par alvaare » 11 juin 2018 18:33

Je suis d'accord avec ton intuition. Si on écrit les hypothèse, on a:
$ \exists \delta, \forall \epsilon < \delta, sin(x_n(t+\epsilon)) \rightarrow 0 $ Alors:
$ sin(tx_n)cos(\epsilon x_n) + cos(tx_n)sin(\epsilon x_n) \rightarrow 0 $ Or par hypothèse le premier terme tend vers 0 et le deuxième vers $ (-1)^k sin(\epsilon x_n) $ donc il faut que:
$ \forall \epsilon < \delta, \epsilon x_n \rightarrow \pi \mathbb{Z} $
Ce qui me semble impossible si $ x_n $ ne tend pas vers 0, à formaliser.
Dernière modification par alvaare le 12 juin 2018 12:45, modifié 1 fois.
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Re: Exo oral

Message par 789 » 12 juin 2018 09:31

Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre $ \frac{\epsilon}{\pi} x_n $ qui doit en même temps tendre vers 0 modulo $ \pi $ et modulo 1, ce qui permet de conclure.

Edit: Ca ne permet pas de conclure :(
Dernière modification par 789 le 12 juin 2018 22:31, modifié 1 fois.
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Re: Exo oral

Message par Nabuco » 12 juin 2018 10:41

789 a écrit :
12 juin 2018 09:31
Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre $ \frac{\epsilon}{\pi} x_n $ qui doit en même temps tendre vers 0 modulo $ \pi $ et modulo 1, ce qui permet de conclure.
C est possible de tendre vers 0 mod 1 et pi sans tendre vers 0... En effet pour tout entier N>0, il existe des entiers p et q tels que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N car si on considère 0, pi,... Npi, comme il y a N+1 nombres deux parmi ceux ci on leur partie décimale entre k/N et (k+1)/N. Leur différence est donc sous la forme p pi pour p entier et il existe q tel que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N. Pour contredire le propos précédent il suffit de prendre xn une suite telle que pour tout n xn est entré p pi et q associés à n, elle converge alors vers 0modulo 1 et pi

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Re: Exo oral

Message par K-ter » 12 juin 2018 17:15

Salut, c'est un sujet d'oral de quelle école ?

Il me semble difficile d'éviter de passer par le théorème de Baire (une union dénombrable de fermés d'intérieur vide de $ \mathbb{R} $ est d'intérieur vide).
Remarquons que les seules valeurs d'adhérence possibles de la suite sont $ 0 $ et $ \pm\infty $, donc il suffit de montrer qu'elle est bornée
Quitte à changer les signes, on peut supposer qu'il existe $ 0<u<v $ tels que $ \left] u, v\right[ $ soit inclus dans l'ensemble des $ t $ tels que $ sin(tx_n)\rightarrow 0 $
On peut alors regarder à $ \epsilon $ fixé l'union $ \cup_N F_N $ avec $ F_N=\{t\in\left] u, v\right[, \, \forall n\geq N, |\sin(tx_n) |\leq \epsilon\} $.
Par hypothèse cette union est d'intérieur non vide, donc l'un des fermés $ F_N $ est d'intérieur non vide, disons $ \left] u', v'\right[\subset F_N $
Ainsi, pour $ n\geq N $,
$$x_n\in \bigcap_{t\in\left] u', v'\right[} \frac{1}{t}\left(\pi\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/2,\pi\epsilon/2\right[\right) \\ \implies x_n\in\bigcap_{t\in\left] u', v'\right[}\left( \frac{\pi}{t}\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[\right) $$Lorsque l'on a $ x_n=k\pi/t+\delta=k'\pi/t'+\delta' $ avec $ k, k' $ entiers, $ t, t'\in\left] u', v'\right[ $ et $ \delta, \delta'\in\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[ $, il vient :
$$|\frac{t'} {t} k-k'| =\frac{t'} {\pi} |\delta-\delta'|\leq \epsilon v/u $$Donc si $ \epsilon v/u<1/2 $, alors $ k'=\left[kt'/t\right] $ (l'entier le plus proche).
De là, pour tout $ t'\in\left]u', v'\right[ $ ($ t $ reste fixé), on a :
$$|\frac{t'} {t} k-\left[\frac{t'} {t} k\right] |<1/2$$Remarquons que si $ |k| $ supérieur à une constante C dépendant uniquement de $ u' $ et $ v' $, l'intervalle $ \left] \frac{u'} {t} k, \frac{v'} {t}k \right[ $ contient un demi-entier, de sorte à violer l'inégalité précédente pour un certain $ t' $. D'où une borne sur $ k $, puis $ \forall n\geq N, |x_n|\leq C\pi/u' +\pi\epsilon/(2u) $
Donc la suite est bornée et on a le résultat

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Re: Exo oral

Message par 789 » 12 juin 2018 22:31

Nabuco a écrit :
12 juin 2018 10:41
789 a écrit :
12 juin 2018 09:31
Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre $ \frac{\epsilon}{\pi} x_n $ qui doit en même temps tendre vers 0 modulo $ \pi $ et modulo 1, ce qui permet de conclure.
C est possible de tendre vers 0 mod 1 et pi sans tendre vers 0... En effet pour tout entier N>0, il existe des entiers p et q tels que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N car si on considère 0, pi,... Npi, comme il y a N+1 nombres deux parmi ceux ci on leur partie décimale entre k/N et (k+1)/N. Leur différence est donc sous la forme p pi pour p entier et il existe q tel que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N. Pour contredire le propos précédent il suffit de prendre xn une suite telle que pour tout n xn est entré p pi et q associés à n, elle converge alors vers 0modulo 1 et pi
Très juste, je me suis un peu emballé
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Re: Exo oral

Message par Nabuco » 15 juin 2018 11:15

Je pense qu on peut s en sortir juste avec Cvd
Si on suppose que sur [a,b] non trivial sin(xn t) tend vers 0 par cvd l intégrale de a à b de |sin(xn t)| tend vers 0. Or elle vaut l intégrale de axn à bxn de |sin(t)| divisée par xn ( quitte à considérer |xn| xn est positive quitte à extraire xn est non nulle apcr sinon xn converge vers 0)
Ensuite on dit juste que quitte à extraire xn converge ou tend vers l infini. Si xn converge l.intégrale ne tend pas vers 0 si la limite de xn n est pas nulle.
Si xn diverge on minore |sin(t)| par sin(t)^2 qu on linéarise. On obtient une limite de 1/2 ce qui est absurde. Donc la suite converge vers 0.
Ça me semble être un peu plus tordu que Baire mais ça reste dans le cadre du programme

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