Exo oral
Exo oral
Bonjour, je boque sur cet exo :
Soit $ x_{n} $ suite de réels tel que la partie
{ t dans $ \mathbb{R} $ tels que $$ sin(x_{n}t)\rightarrow 0 $$ }
est d'intérieur non vide.
Que peut-on dire de $$ x_{n} $$ ?
J'ai envie de dire $ x_{n}\rightarrow 0 $ ??
Qu'en pensez vous?
Soit $ x_{n} $ suite de réels tel que la partie
{ t dans $ \mathbb{R} $ tels que $$ sin(x_{n}t)\rightarrow 0 $$ }
est d'intérieur non vide.
Que peut-on dire de $$ x_{n} $$ ?
J'ai envie de dire $ x_{n}\rightarrow 0 $ ??
Qu'en pensez vous?
Re: Exo oral
Je suis d'accord avec ton intuition. Si on écrit les hypothèse, on a:
$ \exists \delta, \forall \epsilon < \delta, sin(x_n(t+\epsilon)) \rightarrow 0 $ Alors:
$ sin(tx_n)cos(\epsilon x_n) + cos(tx_n)sin(\epsilon x_n) \rightarrow 0 $ Or par hypothèse le premier terme tend vers 0 et le deuxième vers $ (-1)^k sin(\epsilon x_n) $ donc il faut que:
$ \forall \epsilon < \delta, \epsilon x_n \rightarrow \pi \mathbb{Z} $
Ce qui me semble impossible si $ x_n $ ne tend pas vers 0, à formaliser.
$ \exists \delta, \forall \epsilon < \delta, sin(x_n(t+\epsilon)) \rightarrow 0 $ Alors:
$ sin(tx_n)cos(\epsilon x_n) + cos(tx_n)sin(\epsilon x_n) \rightarrow 0 $ Or par hypothèse le premier terme tend vers 0 et le deuxième vers $ (-1)^k sin(\epsilon x_n) $ donc il faut que:
$ \forall \epsilon < \delta, \epsilon x_n \rightarrow \pi \mathbb{Z} $
Ce qui me semble impossible si $ x_n $ ne tend pas vers 0, à formaliser.
Dernière modification par alvaare le 12 juin 2018 12:45, modifié 1 fois.
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2018-2019: DI ENS Ulm
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Re: Exo oral
Pour formaliser la fin on peut par exemple prendre $ \frac{\epsilon}{\pi} x_n $ qui doit en même temps tendre vers 0 modulo $ \pi $ et modulo 1, ce qui permet de conclure.
Edit: Ca ne permet pas de conclure
Edit: Ca ne permet pas de conclure
Dernière modification par 789 le 12 juin 2018 22:31, modifié 1 fois.
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2018-... : dept maths ENS de Lyon
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Re: Exo oral
C est possible de tendre vers 0 mod 1 et pi sans tendre vers 0... En effet pour tout entier N>0, il existe des entiers p et q tels que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N car si on considère 0, pi,... Npi, comme il y a N+1 nombres deux parmi ceux ci on leur partie décimale entre k/N et (k+1)/N. Leur différence est donc sous la forme p pi pour p entier et il existe q tel que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N. Pour contredire le propos précédent il suffit de prendre xn une suite telle que pour tout n xn est entré p pi et q associés à n, elle converge alors vers 0modulo 1 et pi
Re: Exo oral
Salut, c'est un sujet d'oral de quelle école ?
Il me semble difficile d'éviter de passer par le théorème de Baire (une union dénombrable de fermés d'intérieur vide de $ \mathbb{R} $ est d'intérieur vide).
Remarquons que les seules valeurs d'adhérence possibles de la suite sont $ 0 $ et $ \pm\infty $, donc il suffit de montrer qu'elle est bornée
Quitte à changer les signes, on peut supposer qu'il existe $ 0<u<v $ tels que $ \left] u, v\right[ $ soit inclus dans l'ensemble des $ t $ tels que $ sin(tx_n)\rightarrow 0 $
On peut alors regarder à $ \epsilon $ fixé l'union $ \cup_N F_N $ avec $ F_N=\{t\in\left] u, v\right[, \, \forall n\geq N, |\sin(tx_n) |\leq \epsilon\} $.
Par hypothèse cette union est d'intérieur non vide, donc l'un des fermés $ F_N $ est d'intérieur non vide, disons $ \left] u', v'\right[\subset F_N $
Ainsi, pour $ n\geq N $,
$$x_n\in \bigcap_{t\in\left] u', v'\right[} \frac{1}{t}\left(\pi\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/2,\pi\epsilon/2\right[\right) \\ \implies x_n\in\bigcap_{t\in\left] u', v'\right[}\left( \frac{\pi}{t}\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[\right) $$Lorsque l'on a $ x_n=k\pi/t+\delta=k'\pi/t'+\delta' $ avec $ k, k' $ entiers, $ t, t'\in\left] u', v'\right[ $ et $ \delta, \delta'\in\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[ $, il vient :
$$|\frac{t'} {t} k-k'| =\frac{t'} {\pi} |\delta-\delta'|\leq \epsilon v/u $$Donc si $ \epsilon v/u<1/2 $, alors $ k'=\left[kt'/t\right] $ (l'entier le plus proche).
De là, pour tout $ t'\in\left]u', v'\right[ $ ($ t $ reste fixé), on a :
$$|\frac{t'} {t} k-\left[\frac{t'} {t} k\right] |<1/2$$Remarquons que si $ |k| $ supérieur à une constante C dépendant uniquement de $ u' $ et $ v' $, l'intervalle $ \left] \frac{u'} {t} k, \frac{v'} {t}k \right[ $ contient un demi-entier, de sorte à violer l'inégalité précédente pour un certain $ t' $. D'où une borne sur $ k $, puis $ \forall n\geq N, |x_n|\leq C\pi/u' +\pi\epsilon/(2u) $
Donc la suite est bornée et on a le résultat
Il me semble difficile d'éviter de passer par le théorème de Baire (une union dénombrable de fermés d'intérieur vide de $ \mathbb{R} $ est d'intérieur vide).
Remarquons que les seules valeurs d'adhérence possibles de la suite sont $ 0 $ et $ \pm\infty $, donc il suffit de montrer qu'elle est bornée
Quitte à changer les signes, on peut supposer qu'il existe $ 0<u<v $ tels que $ \left] u, v\right[ $ soit inclus dans l'ensemble des $ t $ tels que $ sin(tx_n)\rightarrow 0 $
On peut alors regarder à $ \epsilon $ fixé l'union $ \cup_N F_N $ avec $ F_N=\{t\in\left] u, v\right[, \, \forall n\geq N, |\sin(tx_n) |\leq \epsilon\} $.
Par hypothèse cette union est d'intérieur non vide, donc l'un des fermés $ F_N $ est d'intérieur non vide, disons $ \left] u', v'\right[\subset F_N $
Ainsi, pour $ n\geq N $,
$$x_n\in \bigcap_{t\in\left] u', v'\right[} \frac{1}{t}\left(\pi\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/2,\pi\epsilon/2\right[\right) \\ \implies x_n\in\bigcap_{t\in\left] u', v'\right[}\left( \frac{\pi}{t}\mathbb{Z} +\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[\right) $$Lorsque l'on a $ x_n=k\pi/t+\delta=k'\pi/t'+\delta' $ avec $ k, k' $ entiers, $ t, t'\in\left] u', v'\right[ $ et $ \delta, \delta'\in\left] - \pi\epsilon/(2u) ,\pi\epsilon/(2u) \right[ $, il vient :
$$|\frac{t'} {t} k-k'| =\frac{t'} {\pi} |\delta-\delta'|\leq \epsilon v/u $$Donc si $ \epsilon v/u<1/2 $, alors $ k'=\left[kt'/t\right] $ (l'entier le plus proche).
De là, pour tout $ t'\in\left]u', v'\right[ $ ($ t $ reste fixé), on a :
$$|\frac{t'} {t} k-\left[\frac{t'} {t} k\right] |<1/2$$Remarquons que si $ |k| $ supérieur à une constante C dépendant uniquement de $ u' $ et $ v' $, l'intervalle $ \left] \frac{u'} {t} k, \frac{v'} {t}k \right[ $ contient un demi-entier, de sorte à violer l'inégalité précédente pour un certain $ t' $. D'où une borne sur $ k $, puis $ \forall n\geq N, |x_n|\leq C\pi/u' +\pi\epsilon/(2u) $
Donc la suite est bornée et on a le résultat
Re: Exo oral
Très juste, je me suis un peu emballéNabuco a écrit : ↑12 juin 2018 10:41C est possible de tendre vers 0 mod 1 et pi sans tendre vers 0... En effet pour tout entier N>0, il existe des entiers p et q tels que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N car si on considère 0, pi,... Npi, comme il y a N+1 nombres deux parmi ceux ci on leur partie décimale entre k/N et (k+1)/N. Leur différence est donc sous la forme p pi pour p entier et il existe q tel que la valeur absolue de p pi -q soit inférieure à 1/N. Pour contredire le propos précédent il suffit de prendre xn une suite telle que pour tout n xn est entré p pi et q associés à n, elle converge alors vers 0modulo 1 et pi
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Re: Exo oral
Je pense qu on peut s en sortir juste avec Cvd
Si on suppose que sur [a,b] non trivial sin(xn t) tend vers 0 par cvd l intégrale de a à b de |sin(xn t)| tend vers 0. Or elle vaut l intégrale de axn à bxn de |sin(t)| divisée par xn ( quitte à considérer |xn| xn est positive quitte à extraire xn est non nulle apcr sinon xn converge vers 0)
Ensuite on dit juste que quitte à extraire xn converge ou tend vers l infini. Si xn converge l.intégrale ne tend pas vers 0 si la limite de xn n est pas nulle.
Si xn diverge on minore |sin(t)| par sin(t)^2 qu on linéarise. On obtient une limite de 1/2 ce qui est absurde. Donc la suite converge vers 0.
Ça me semble être un peu plus tordu que Baire mais ça reste dans le cadre du programme
Si on suppose que sur [a,b] non trivial sin(xn t) tend vers 0 par cvd l intégrale de a à b de |sin(xn t)| tend vers 0. Or elle vaut l intégrale de axn à bxn de |sin(t)| divisée par xn ( quitte à considérer |xn| xn est positive quitte à extraire xn est non nulle apcr sinon xn converge vers 0)
Ensuite on dit juste que quitte à extraire xn converge ou tend vers l infini. Si xn converge l.intégrale ne tend pas vers 0 si la limite de xn n est pas nulle.
Si xn diverge on minore |sin(t)| par sin(t)^2 qu on linéarise. On obtient une limite de 1/2 ce qui est absurde. Donc la suite converge vers 0.
Ça me semble être un peu plus tordu que Baire mais ça reste dans le cadre du programme