Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?

[Chronoxx]

Bonjour !

Dans l'exo qui suit, j'ai peur que mon raisonnement soit trop superficiel, trop intuitif (et du coup démonstration peu rigoureuse) ... J'aimerais avoir vos avis sur ce dernier.

ENONCÉ :
Pour $ p $ et $ q $ dans $ \mathbb N^{*} $, calculer :
$ B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx $.

-----------------
Je suis parti sur de l'intégration par parties successives (n fois).

Soient $ p $ et $ q $ deux entiers naturels non nuls.

Pour n = 1 :
$ \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = $ $ \frac{1}{p}[x^{p}(1-x)^{q-1}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-1}{p} $$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx $

Puis on réintègre par parties (n = 2) :
$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx = $$ \frac{1}{p+1}[x^{p+1}(1-x)^{q-2}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-2}{p+1} $$ \int_{0}^{1} x^{p+1}(1-x)^{q-3} dx $

Et ce que je me suis dit, c'est que les termes en rouge valent toujours 0. Donc (grossièrement) ce qui va donner de la valeur à $ B(p,q) $ c'est la dernière ipp, soit à la $ (q - 2)^{ème} $ étape.

À la $ (q - 2)^{ème} $ étape :
$ \int_{0}^{1} x^{p+q-3}(1-x) dx = \int_{0}^{1} x^{p+q-3}-x^{p+q-2} dx = \frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1} $

Maintenant, faut "remonter" les intégrations par parties pour prendre en compte les facteurs (en bleu) qui se trouvaient devant chaque intégrale.

Finalement, on a :
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $

------------------
Voilà, qu'en pensez-vous ? Mon raisonnement donne un résultat peu commode à utiliser. L'idéal serait de simplifier le produit. Y'aurait-il une méthode plus simple ?

Merci beaucoup !

[Zetary]

Bonjour,

Ton résultat est correct, tu peux toutefois le simplifier un peu en réduisant le premier facteur au même dénominateur et en cherchant à faire apparaître des factorielles ou des coefficients binomiaux.
Là comme ça je ne ne vois pas de méthode élémentaire qui soit plus simple

[Errys]

Exprimer B(p,q) en fonction de B(p-1, q+1) permet d'établir une relation de récurence qui se résout facilement après.

[Zetary]

Oui, c'est exactement ce qu'il a fait

[Chronoxx]

D'ac, merci à vous ! J'vais essayer de faire ça.

[zygomatique]

salut

effectivement le produit du résultat final ce simplifie avec des factorielles ...

mais pourquoi un énoncé aussi médiocre ?

soit $ (p, q) \in N^2 $ et posons $ B(p, q) = \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx $


quelques relations ... pour le plaisir :

tout d'abord le changement de variable x = 1 - t montre que B(p, q) = B(q, p)

posons alors n = p + q

$ \sum_{p = 0}^n {n \choose p} B(p, q) = \sum_0^n {n \choose p} \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx = \int_0^1 \left( \sum_0^n {n \choose p} x^p (1 - x)^q \right)dx = 1 $

$ \sum_{p = 0}^q {q \choose p} B(p, q) = \sum_0^q {q \choose p} \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx = \int_0^1 (1 - x)^q \left( \sum_0^q {q \choose p} (x + 1 - 1)^p 1^{q - p} \right)dx = \int_0^1 (1 - x^2)^qdx $

...

[Zetary]

L'énoncé n'est pas médiocre quand on sait que $ B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $ avec la première définition pour tout $ p,q \in \mathbb{R}^*_+ $

[Chronoxx]

Du coup, avec simplification, ça me donne ça :
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $
$ = \displaystyle\frac{1}{p+q-2}\displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} (\frac{q - k }{p - 1 + k}) - \frac{1}{p+q-1}\displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} (\frac{q - k }{p - 1 + k}) $

$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-2)!} - \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-3)!(p+q-1)} $

$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-2)!} - \frac{(p-1)!(q-1)!(p+q-2)}{(p+q-1)!} $

$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!(p+q-1) - (p-1)!(q-1)!(p+q-2)}{(p+q-1)!} $

$ B(p,q) = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} $

Ce qui est en effet beaucoup plus lisible et commode à utiliser

salut
mais pourquoi un énoncé aussi médiocre ?

J'ai tapé l'énoncé tel qu'il était écrit
Sinon, merci pour les relations ! Je n'ai pas le réflexe de penser au binôme de Newton.