Dans l'exo qui suit, j'ai peur que mon raisonnement soit trop superficiel, trop intuitif (et du coup démonstration peu rigoureuse)
... J'aimerais avoir vos avis sur ce dernier. ENONCÉ :
Pour $ p $ et $ q $ dans $ \mathbb N^{*} $, calculer :
$ B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx $.
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Je suis parti sur de l'intégration par parties successives (n fois).
Soient $ p $ et $ q $ deux entiers naturels non nuls.
Pour n = 1 :
$ \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = $ $ \frac{1}{p}[x^{p}(1-x)^{q-1}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-1}{p} $$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx $
Puis on réintègre par parties (n = 2) :
$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx = $$ \frac{1}{p+1}[x^{p+1}(1-x)^{q-2}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-2}{p+1} $$ \int_{0}^{1} x^{p+1}(1-x)^{q-3} dx $
Et ce que je me suis dit, c'est que les termes en rouge valent toujours 0. Donc (grossièrement) ce qui va donner de la valeur à $ B(p,q) $ c'est la dernière ipp, soit à la $ (q - 2)^{ème} $ étape.
À la $ (q - 2)^{ème} $ étape :
$ \int_{0}^{1} x^{p+q-3}(1-x) dx = \int_{0}^{1} x^{p+q-3}-x^{p+q-2} dx = \frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1} $
Maintenant, faut "remonter" les intégrations par parties pour prendre en compte les facteurs (en bleu) qui se trouvaient devant chaque intégrale.
Finalement, on a :
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $
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Voilà, qu'en pensez-vous ? Mon raisonnement donne un résultat peu commode à utiliser. L'idéal serait de simplifier le produit. Y'aurait-il une méthode plus simple ?
Merci beaucoup !
