Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
Bonjour !
Dans l'exo qui suit, j'ai peur que mon raisonnement soit trop superficiel, trop intuitif (et du coup démonstration peu rigoureuse) ... J'aimerais avoir vos avis sur ce dernier.
ENONCÉ :
Pour $ p $ et $ q $ dans $ \mathbb N^{*} $, calculer :
$ B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx $.
-----------------
Je suis parti sur de l'intégration par parties successives (n fois).
Soient $ p $ et $ q $ deux entiers naturels non nuls.
Pour n = 1 :
$ \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = $ $ \frac{1}{p}[x^{p}(1-x)^{q-1}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-1}{p} $$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx $
Puis on réintègre par parties (n = 2) :
$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx = $$ \frac{1}{p+1}[x^{p+1}(1-x)^{q-2}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-2}{p+1} $$ \int_{0}^{1} x^{p+1}(1-x)^{q-3} dx $
Et ce que je me suis dit, c'est que les termes en rouge valent toujours 0. Donc (grossièrement) ce qui va donner de la valeur à $ B(p,q) $ c'est la dernière ipp, soit à la $ (q - 2)^{ème} $ étape.
À la $ (q - 2)^{ème} $ étape :
$ \int_{0}^{1} x^{p+q-3}(1-x) dx = \int_{0}^{1} x^{p+q-3}-x^{p+q-2} dx = \frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1} $
Maintenant, faut "remonter" les intégrations par parties pour prendre en compte les facteurs (en bleu) qui se trouvaient devant chaque intégrale.
Finalement, on a :
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $
------------------
Voilà, qu'en pensez-vous ? Mon raisonnement donne un résultat peu commode à utiliser. L'idéal serait de simplifier le produit. Y'aurait-il une méthode plus simple ?
Merci beaucoup !
Dans l'exo qui suit, j'ai peur que mon raisonnement soit trop superficiel, trop intuitif (et du coup démonstration peu rigoureuse) ... J'aimerais avoir vos avis sur ce dernier.
ENONCÉ :
Pour $ p $ et $ q $ dans $ \mathbb N^{*} $, calculer :
$ B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx $.
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Je suis parti sur de l'intégration par parties successives (n fois).
Soient $ p $ et $ q $ deux entiers naturels non nuls.
Pour n = 1 :
$ \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = $ $ \frac{1}{p}[x^{p}(1-x)^{q-1}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-1}{p} $$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx $
Puis on réintègre par parties (n = 2) :
$ \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q-2} dx = $$ \frac{1}{p+1}[x^{p+1}(1-x)^{q-2}]_0^1 $$ + $$ \frac{q-2}{p+1} $$ \int_{0}^{1} x^{p+1}(1-x)^{q-3} dx $
Et ce que je me suis dit, c'est que les termes en rouge valent toujours 0. Donc (grossièrement) ce qui va donner de la valeur à $ B(p,q) $ c'est la dernière ipp, soit à la $ (q - 2)^{ème} $ étape.
À la $ (q - 2)^{ème} $ étape :
$ \int_{0}^{1} x^{p+q-3}(1-x) dx = \int_{0}^{1} x^{p+q-3}-x^{p+q-2} dx = \frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1} $
Maintenant, faut "remonter" les intégrations par parties pour prendre en compte les facteurs (en bleu) qui se trouvaient devant chaque intégrale.
Finalement, on a :
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $
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Voilà, qu'en pensez-vous ? Mon raisonnement donne un résultat peu commode à utiliser. L'idéal serait de simplifier le produit. Y'aurait-il une méthode plus simple ?
Merci beaucoup !
Dernière modification par Chronoxx le 12 juin 2018 23:21, modifié 1 fois.
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
Bonjour,
Ton résultat est correct, tu peux toutefois le simplifier un peu en réduisant le premier facteur au même dénominateur et en cherchant à faire apparaître des factorielles ou des coefficients binomiaux.
Là comme ça je ne ne vois pas de méthode élémentaire qui soit plus simple
Ton résultat est correct, tu peux toutefois le simplifier un peu en réduisant le premier facteur au même dénominateur et en cherchant à faire apparaître des factorielles ou des coefficients binomiaux.
Là comme ça je ne ne vois pas de méthode élémentaire qui soit plus simple
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
Exprimer B(p,q) en fonction de B(p-1, q+1) permet d'établir une relation de récurence qui se résout facilement après.
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
Oui, c'est exactement ce qu'il a fait
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
D'ac, merci à vous ! J'vais essayer de faire ça.
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
salut
effectivement le produit du résultat final ce simplifie avec des factorielles ...
mais pourquoi un énoncé aussi médiocre ?
soit $ (p, q) \in N^2 $ et posons $ B(p, q) = \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx $
quelques relations ... pour le plaisir :
tout d'abord le changement de variable x = 1 - t montre que B(p, q) = B(q, p)
posons alors n = p + q
$ \sum_{p = 0}^n {n \choose p} B(p, q) = \sum_0^n {n \choose p} \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx = \int_0^1 \left( \sum_0^n {n \choose p} x^p (1 - x)^q \right)dx = 1 $
$ \sum_{p = 0}^q {q \choose p} B(p, q) = \sum_0^q {q \choose p} \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx = \int_0^1 (1 - x)^q \left( \sum_0^q {q \choose p} (x + 1 - 1)^p 1^{q - p} \right)dx = \int_0^1 (1 - x^2)^qdx $
...
effectivement le produit du résultat final ce simplifie avec des factorielles ...
mais pourquoi un énoncé aussi médiocre ?
soit $ (p, q) \in N^2 $ et posons $ B(p, q) = \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx $
quelques relations ... pour le plaisir :
tout d'abord le changement de variable x = 1 - t montre que B(p, q) = B(q, p)
posons alors n = p + q
$ \sum_{p = 0}^n {n \choose p} B(p, q) = \sum_0^n {n \choose p} \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx = \int_0^1 \left( \sum_0^n {n \choose p} x^p (1 - x)^q \right)dx = 1 $
$ \sum_{p = 0}^q {q \choose p} B(p, q) = \sum_0^q {q \choose p} \int_0^1 x^p(1 - x)^qdx = \int_0^1 (1 - x)^q \left( \sum_0^q {q \choose p} (x + 1 - 1)^p 1^{q - p} \right)dx = \int_0^1 (1 - x^2)^qdx $
...
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
L'énoncé n'est pas médiocre quand on sait que $ B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $ avec la première définition pour tout $ p,q \in \mathbb{R}^*_+ $
Re: Raisonnement correct ? Méthode plus simple ?
Du coup, avec simplification, ça me donne ça :
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $
$ = \displaystyle\frac{1}{p+q-2}\displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} (\frac{q - k }{p - 1 + k}) - \frac{1}{p+q-1}\displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} (\frac{q - k }{p - 1 + k}) $
$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-2)!} - \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-3)!(p+q-1)} $
$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-2)!} - \frac{(p-1)!(q-1)!(p+q-2)}{(p+q-1)!} $
$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!(p+q-1) - (p-1)!(q-1)!(p+q-2)}{(p+q-1)!} $
$ B(p,q) = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} $
Ce qui est en effet beaucoup plus lisible et commode à utiliser
Sinon, merci pour les relations ! Je n'ai pas le réflexe de penser au binôme de Newton.
$ B(p,q) = (\frac{1}{p+q-2} - \frac{1}{p+q-1}) \displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} \frac{q - k }{p - 1 + k} $
$ = \displaystyle\frac{1}{p+q-2}\displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} (\frac{q - k }{p - 1 + k}) - \frac{1}{p+q-1}\displaystyle\prod_{k=1}^{q-2} (\frac{q - k }{p - 1 + k}) $
$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-2)!} - \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-3)!(p+q-1)} $
$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-2)!} - \frac{(p-1)!(q-1)!(p+q-2)}{(p+q-1)!} $
$ = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!(p+q-1) - (p-1)!(q-1)!(p+q-2)}{(p+q-1)!} $
$ B(p,q) = \displaystyle\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} $
Ce qui est en effet beaucoup plus lisible et commode à utiliser
J'ai tapé l'énoncé tel qu'il était écrit
Sinon, merci pour les relations ! Je n'ai pas le réflexe de penser au binôme de Newton.
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
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