Une inégalité arithmétique

[petitematheuse]

Bonsoir,

j'essaie de montrer que :
$ \displaystyle \sum_{\substack{d\leq z \\ d~ \text{avec facteur carré}}} \dfrac{1}{d} \leq \dfrac{1}{4} \sum_{d\leq z/4} \dfrac{1}{d} $, où $ z $ est un paramètre fixé, réel positif, quelconque.

Pour l'instant je suis partie sur l'idée suivante : si $ d $ a un facteur carré, on peut écrire $ d = n^2 m \geq 4m $, et si $ d \leq z $ alors $ m \leq \dfrac{z}{4} $. Puis il faudrait sommer...
Ça permet d'avoir le facteur $ \dfrac{1}{4} $, la bonne indexation... mais je n'arrive pas à l'écrire proprement : pourquoi tous les $ m $ seraient différents ?
J'y vois pas très clair, désolée si ma question n'est pas bien formulée. Désolée si c'est assez simple, j'ai vu ça dans un bouquin de théorie des nombres (il paraît que c'est une simple observation) et j'aimerais arriver à une preuve solide.
En tout cas, j'apprécierais toute indication !
Merci beaucoup

[matmeca_mcf1]

Cela fait longtemps que je n'ai pas fait de théorie des nombres mais qu'entendezvous par "d" a un facteur premier? Tous les entiers (hormis 1 et -1) sont divisibles par au moins un facteur premier. Voulez-vous dire il existe un premier p divisant d tq p^2 ne divise pas d?

[petitematheuse]

Ouuups
Excusez moi je corrige immédiatement, je veux dire : d a un facteur carré. Ma question n'a effectivement aucun sens...

[matmeca_mcf1]

Je ne dois pas bien comprendre la signification d'au moins une des deux sommes. Je prends z=12. La première somme donne
$$
\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}
$$
La deuxième somme donne
$$
\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)
$$
Et la première somme est alors plus grande (strictement) que la deuxième.

[petitematheuse]

Effectivement...
Je suis un peu perdue, j'ai recopié quasi tel quel le passage du livre qui énonce cette inégalité... ou alors il y a une erreur et je dois contourner ça dans ma preuve (pour mon tipe).... en fait je n'ai pas besoin du facteur 1/4, je cherche à montrer une estimation en O().
Je suis désolée de vous faire perdre votre temps, je n'ai pas pensé à remettre en question une affirmation d'un bouquin de maths.... au temps pour moi.

[matmeca_mcf1]

Que cherchez-vous à prouver comme estimation? J'ai suivi un cours de théorie des nombre à Orsay il y a 18 ans. J'arriverais peut-être à vous aider.

[petitematheuse]

Alors je pars de la somme (sur d quelconque <= z) des 1/d, j'aimerais montrer que log(z) = O(cette somme).
Merci beaucoup !

[K-ter]

J'obtiens 1/2 au lieu de 1/4 :
On peut vérifier facilement que tout entier d avec facteur carré s'écrit de manière unique $ d=n^2 m $ avec $ m $ sans facteur carré et $ n\geq 2 $. Donc on peut écrire :
$$\sum_{d\leq z\text{ avec facteur carré}} \frac{1}{d}\\
=\sum_{m \text{ sans facteur carré} }\sum_{2\leq n\leq \sqrt{z/m}} \frac{1}{n^2m}\\
\leq\sum_{m\leq z/4 }\sum_{2\leq n\leq \sqrt{z/m}} \frac{1}{n^2m}\\
\leq\sum_{m\leq z/4}\frac{1}{m}\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}\\
= \frac{1}{2} \sum_{m\leq z/4} \frac{1}{m} $$

[petitematheuse]

Ça me va très bien avec un 1/2 !!!
Je ne comprends pas trop la première inégalité, comment passer de "m sans facteur carré" à "m \leq z/4" ?
Merci beaucoup en tout cas!

[Zetary]

n est plus grand que 2 donc n² plus grand que 4 donc m plus petit que d/4 donc plus petit que z/4