Système linéaire

[Archimède97]

Bonjour
Soit le système linéaire
$
\begin{cases}
x+y=0\\
x+z=0
\end{cases}
$
On peut faire l'erreur de le résoudre en écrivant
$
(x,y,z)
=(-y,y,-x)
=y(-1,1,0)+x(0,0,-1)
$
et en disant alors que les solutions forment un plan (or il facile de voir que l'on a une droite) engendré par (-1,1,0) et (0,0,-1).

Dans le cas général, la méthode utilisée qui consiste à décomposer $ (x,y,z) $ est-elle correcte si on impose de plus que les vecteurs obtenus qui donnent le vect (i.e. ceux qui engendrent l'espace des solutions) doivent être solutions du système ?

Merci

[siro]

Deux équations linéaires (EDIT : indépendantes bien sûr) en 3D, ça ne peut que former une droite. Pas un plan.
(Et il te manque la nature des solutions. On cherche des solutions à trois variables réelles (x,y,z) ? A quatre ? A douze ?)

D'ailleurs tu ne nous poses pas de question, on dirait que tu te parles à toi-même... Bref on dirait que c'est confus chez toi. Et tu fais l'erreur classique dès la première étape de ton raisonnement. C'est (x,-x,-x) la solution générale, sûrement pas celle avec deux variables indépendantes...

La solution générale et générique, c'est d'écrire sous forme matricielle, d'inverser la matrice et de retrouver la bonne solution (quand la matrice est carrée et inversible).

[darklol]

Dans ton raisonnement, tu ne montres qu’une inclusion de l’ensemble des solutions dans un plan: si $ (x,y,z) $ est solution, alors il appartient au plan engendré par $ (-1,1,0) $ et $ (0,0,-1) $. Tu ne montres pas l’autre inclusion (qui est fausse), voilà l’erreur de raisonnement. Comme le système est linéaire, pour montrer (ou non) l’autre inclusion, il suffirait en effet de savoir si les vecteurs de base de ton plan sont solution de ton système (ce qui n’est pas le cas ici).

[btsix]

Le problème c'est que tu n'as pas cherché une condition nécessaire assez restrictive pour qu'elle soit suffisante.
Après avoir écrit (x, y, z) = (-y, y, -x), tu peux continuer : (-y, y, x) = (-y, y, -y). C'est seulement après que tu décomposes : y(-1, 1, -1).
Reste à vérifier le sens réciproque.

[Archimède97]

Merci