Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Zetary]

Problème 5 : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle. Montrer qu'il existe une suite d'entiers $ (n_k)_{k\in\mathbb{N}} $ strictement croissante telle que $ (u_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} $ soit monotone.

[Wazzi]

Pour le problème 1 :

SPOILER:

$f(x+0,3)-f(x)$ ne s'annule jamais et est continue (comme somme de fonctions continues). Elle est donc strictement positive ou strictement négative. Supposons sans perte de généralité qu'elle est strictement positive. On a :
$f(0,3)-f(0)=f(0,3)>0$
$f(0,6)-f(0,3)>0$, donc $f(0,6)>0$
$f(0,9)-f(0,6)>0$, donc $f(0,9)>0$
$f(1)-f(0,7)=-f(0,7)>0$, donc $f(0,7)<0$
$f(0,7)-f(0,4)>0$, donc $f(0,4)<0$
$f(0,4)-f(0,1)>0$, donc $f(0,1)<0$

En appliquant 5 fois le théorême des valeurs intermédiaires (et en comptant 0 et 1), on trouve bien 7 racines

[pasteak]

$\frac{7891}{1987}$ ce serait $111011101111110000000$

Ça pourrait être intéressant, mais il faut aussi vérifier qu'on peut atteindre tous les rationnels avec des combinaisons de f et g.

En fait, on vient de prouver que tout rationnel peut être approché par la combinaison de nos deux fonctions…

[Errys]

Pour l'exercice de Zetary (problème 5) :

SPOILER:

On pose
$$ A = \{n\in\mathbb{N} : \forall m>n, u_m\ge u_n \} $$
On note que le complémentaire de A est :
$$ \overline{A} = \{n\in\mathbb{N} : \exists m>n, u_m < u_n\} $$

Comme A et $ \overline{A} $ forment une partition de $ \mathbb{N} $, si l'un des deux est fini, alors l'autre est infini.

Premier cas : A est infini.
On défini $ (n_i) $ par récurrence. On pose $ n_0 = \min A $ (qui existe car A est une partie non vide de $ \mathbb{N} $). Et pour tout entier $ i\ge 0 $, $ n_{i+1} = \min (A\setminus \{n_0,\ldots, n_{i}\}) $ (qui existe car on prive un ensemble infini d'un nombre fini d'éléments, donc cet ensemble est une partie non vide de $ \mathbb{N} $).
La suite $ (n_i) $ est bien strictement croissante et tous les termes de la suite sont des éléments de A donc par définition, $ (u_{n_i}) $ est croissante donc monotone.

Deuxième cas : A est fini.
Ainsi, à partir d'un certain rang $ i_0 $, tous les entiers $ i\ge i_0 $ sont dans $ \overline{A} $. Ainsi, on pose $ n_0 = i_0 $. Et pour tout entier $ i\ge 0 $, $ n_{i+1} $ un entier m tel que $ u_m<u_{n_i} $ (qui existe car $ n_i $ est dans $ \overline{A} $).
La suite $ (n_i) $ est bien strictement croissante et la suite $ (u_{n_i}) $ décroissante donc monotone.

Ainsi, dans tous les cas, on peut trouver une suite $ (n_i) $ strictement croissante d'entiers naturels telle que $ (u_{n_i}) $ est monotone.

[Errys]

Pour le problème 1 :

SPOILER:

$f(x+0,3)-f(x)$ ne s'annule jamais et est continue (comme somme de fonctions continues). Elle est donc strictement positive ou strictement négative. Supposons sans perte de généralité qu'elle est strictement positive. On a :
$f(0,3)-f(0)=f(0,3)>0$
$f(0,6)-f(0,3)>0$, donc $f(0,6)>0$
$f(0,9)-f(0,6)>0$, donc $f(0,9)>0$
$f(1)-f(0,7)=-f(0,7)>0$, donc $f(0,7)<0$
$f(0,7)-f(0,4)>0$, donc $f(0,4)<0$
$f(0,4)-f(0,1)>0$, donc $f(0,1)<0$

En appliquant 5 fois le théorême des valeurs intermédiaires (et en comptant 0 et 1), on trouve bien 7 racines

Bravo

[Wazzi]

Wooo la jolie preuve de Zetary ! Tu connaissait le problème ?

[Errys]

Pas ce problème exactement, mais j'avais déjà fait dans le cas d'une suite bornée.

[Wazzi]

Vous voulez pas numéroter les problèmes ? Ce sera plus facile de s'y retrouver après… donc pour l'instant, on à eu 5 problèmes. Les 2 et 4 restent sans solution.

[Errys]

C'est fait Il reste juste à numéroter celui de Zetary.

[Zehir]

En fait, on vient de prouver que tout rationnel peut être approché par la combinaison de nos deux fonctions…

Pourquoi seulement approché ?