Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Errys]

Merci, je vais regarder. La preuve pour l'unicité est-elle bonne ?

[Wazzi]

Pour l'exercice 7 (la partie 1) :

SPOILER:

Appelons les numéros sur nos jetons $ a_1,a_2...a_1997 $.
Regardons le minimum de $a_1$ ;$a_1+a_2$ ;$a_1+a_2+a_3...$

Si ce minimum est positif, alors on a gagné. Si il ne l'est pas, effectuons un changement de variables en nommant $b_1$ le numéro immédiatement après le $a_i$ qui nous a donné notre minimum, puis $b_2$ celui qui le suit, etc.

Il suffit alors de regarder le cercle pour s'apercevoir que nous avons bien là une solution au problème initial (non, vraiment, regardez. Je suis incapable de rédiger ça ^^)

[Wazzi]

Euh… Pardon pour la mise en page. Je sais pas pourquoi le Latex se met pas en branle :/

[Chronoxx]

Bonsoir,
Un court exercice d’analyse, ça ne fait pas de mal ^^

Exercice 12

Pour $ X $ dans $ \mathbb R $, on appelle la partie entière de $ X $ (notée $ \lfloor X\rfloor $) l'unique entier $ p $ tel que $ p \leq X < p+1 $.

Soient $ x $ dans $ \mathbb R $ et $ (U_{n})_{n \in \mathbb N^{*}} $ la suite définie par :
$ \forall n \in \mathbb N^{*} $, $ U_{n} = \displaystyle\frac{1}{n^2} \displaystyle\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor $

Montrer que la suite $ (U_{n}) $ converge et calculer sa limite.

[Kuystre]

Exercice 11(sans l'indice)

SPOILER:

On veut $ P(2) = P(7) = P(12) = a $ $ ( = \dfrac{1}{11} ) $

$ P_{n}(m) $ désigne la probabilité d'obtenir m avec le dé numéro n

$ P(2) = P_{1}(1) * P_{2}(1) = y * P_{1}(1) = a $ avec $ y \neq 0 $

$ P(12) = P_{1}(6) * P_{2}(6) = x * P_{1}(6) = a $ avec $ x \neq 0 $

$ P(7) = P_{1}(1) * x + P_{1}(6) * y + X = a $ avec $ X \ge 0 $

$ P_{1}(1) * x + P_{1}(6) * y \le a $

$ \dfrac{a*x}{y} + \dfrac{a*y}{x} \le a $

$ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \le 1 $

$ x^2 + y^2 \le x*y $

$ (x-y)^2 + x*y \le 0 $

Ce qui est absurde, donc c'est impossible. Désolé si c'est lacunaire et s'il manque des trucs (détail des notations), j'ai déjà assez de mal avec ce langage

[Errys]

Solution exercice 12 :

SPOILER:

Soit $ x\in\mathbb{R} $,
On a : $ E(kx)\le kx\le E(kx)+1 $ d'où $ kx-1\le E(kx)\le kx $

Soit :
$$ a_n=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n kx-1}{n^2}\le U_n\le \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n kx}{n^2}=b_n $$

Pour tout entier naturel n :
$$ a_n = \dfrac{x\times n\times (n+1)}{2n^2} - \dfrac{1}{n} = x\times\dfrac{n^2+n}{2n^2} - \dfrac{1}{n}=x\times\dfrac{n+1}{2n}-\dfrac{1}{n} $$
D'où $ \lim\limits_{n\to+\infty} a_n = x\times\dfrac{1}{2} $

De la même manière, on trouve $ \lim\limits_{n\to+\infty}b_n = x\times \dfrac{1}{2} $

D'où, $ U_n\rightarrow \dfrac{x}{2} $

[Errys]

Un autre exercice d'analyse :

Exercice 13

On considère un polynôme $ f $ de degré impair. Montrer que l'équation P(x) = 0 admet au moins 1 solution réelle.

On rappelle, qu'un polynôme $ f $ de degré impair, peut être considéré comme une fonction f telle que :
$ \forall x\in\mathbb{R}, f(x) = c_0 + c_1\times x^1+\ldots+ c_{2n+1}x^{2n+1} $
Où n est un entier naturel et $ (c_0,\ldots, c_{2n+1}) $ des réels.

[Kuystre]

Exercice 13

SPOILER:

On considère le coefficient $ c_{2n+1} $ positif (démonstration similaire s'il est négatif)

La limite en -inf du polynôme vaut -inf (on peut factoriser par $ c_{2n+1} * x^{2n+1} $ pour le prouver, avec la parenthèse qui tend vers 1, mais jamais j'écris ça en LaTeX désolé

De même, la limite en +inf vaut +inf

On applique le TVI comme le polynôme est continu, donc l'équation P(x) = 0 admet au moins une solution réelle

[Errys]

Bravo

[Chronoxx]

Exercice 13

SPOILER:

Soit $ P $ un polynôme de degré impair défini par :
$ P : x \in \mathbb R \mapsto \displaystyle\sum_{i=0}^{2n+1} a_i x^{i} $ avec $ n $ entier naturel.

$ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{2n + 1}x^{2n+1} $ avec $ a_{2n + 1}≠0 $
$ \quad \quad \quad= a_{2n + 1}x^{2n+1}(\displaystyle\frac{a_0}{a_{2n + 1}x^{2n+1}} + \displaystyle\frac{a_1 x}{a_{2n + 1}x^{2n+1}} + ... + 1) $ en considérant $ a_{2n + 1}x^{2n+1} ≠ 0 $

On suppose que $ a_{2n + 1} > 0 $, $ \displaystyle\lim_{x \rightarrow - \infty } P(x) = -\infty $ et $ \displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty } P(x) = +\infty $.

TVI (continue).
On raisonne de manière analogue pour $ a_{2n + 1} < 0 $.

$ P(x) = 0 $ admet au moins une solution.