Analyse : Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R $ qui convient.
Démontrons qu'alors $ f $ est monotone. Raisonnons par l'absurde et supposons que $ f $ n'est pas monotone.
Sans perte de généralité, on considère que $ f $ est croissante puis décroissante sur un intervalle $ \mathbb I $ inclu dans $ \mathbb R $. Il existe ainsi trois réels $ x_1,x_2,x_3 \in \mathbb I $ avec $ x_1<x_2<x_3 $ tels que $ f(x_1) < f(x_2) $ et $ f(x_3) < f(x_2) $ où $ f(x_2) $ est le maximum local. Comme $ f $ vérifie les conditions, $ f(x_2) - f(x_1) = x_2-x_1 $ et $ f(x_2) - f(x_3) = x_3 - x_2 $.
- Si $ f(x_3) > f(x_1) $, alors pour tout $ x \in [x_1,x_3] $, $ f(x) \in [f(x_1),f(x_2)] $. On a donc $ f(x_2) - f(x_1) = x_3 - x_1 = x_2 - x_1 \Leftrightarrow x_2 = x_3 $. Contradiction.
- Si $ f(x_3) < f(x_1) $, alors pour tout $ x \in [x_1,x_3] $, $ f(x) \in [f(x_3),f(x_2)] $. On a donc $ f(x_2) - f(x_3) = x_3 - x_1 = x_3 - x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2 $. Contradiction.
- Si $ f(x_3) = f(x_1) $, contradiction.
Donc $ f $ est monotone sur $ \mathbb R $.
Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques tels que $ a<b $. On note respectivement $ M $ et $ m $ le maximum et le minimum de $ f $ sur $ [a,b] $ d'où $ M-m=b-a $. $ f $ est monotone donc :
$ \displaystyle\begin{cases} M = f(a)\\m = f(b)\end{cases} $ ou $ \displaystyle\begin{cases} M = f(b)\\m = f(a)\end{cases} $.
Ainsi, pour tous réels $ a $ et $ b $, $ \mid f(b) - f(a) \mid = b - a \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\mid f(b) - f(a) \mid}{b-a} = 1 $.
Par définition, la représentation graphique de $ f $ est une droite et son coefficient directeur vaut $ \displaystyle\frac {f(b) - f(a)}{b-a} = ±1 $.
Donc $ f $ est de la forme $ ±x + k $, $ k \in \mathbb R $.
Synthèse : Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R $ définie par :
$ \forall x \in \mathbb R, f(x) = x + k $, $ k \in \mathbb R $.
Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques tels que $ a<b $.
$ f(b) > f(a) $ et $ f(b) - f(a) = b + k - a - k = b - a $. Donc $ f $ convient.
On raisonne de manière analogue pour $ f(x) = -x + k $.
Les fonctions qui conviennent sont toutes les fonctions de la forme $ ±x + k $, $ k \in \mathbb R $.