Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[savethemall]

Vu sur beos mais faisable en fin de terminale :
Déterminer les fonctions de R dans R telles que pour tout a<b, f([a,b]) soit un intervalle de longueur b-a.

Petite question comme ça, sans grand rapport : si f est continue sur un voisinage de x, existe-t-il un voisinage de x sur lequel elle est monotone ?

Je viens de finir la terminale mais j'arrive pas à comprendre clairement l'énoncé. On a le droit de mettre un intervalle dans une fonction?
Et c'est quoi la définition des voisinages?

[Zetary]

f([a,b]) signifie l’ensemble des f(x) pour x dans [a,b]. Dans tout l’énoncé tu peux remplacer «voisinage de x» par «intervalle ouvert non vide contenant x».

[savethemall]

D'accord, merci pour ces précisions.

[donnerwetter]

Zetary : oui merci, je corrige ça. J'avais fait l'exo en montrant la continuité de f (dont j'ignorais qu'elle était HP en terminale... le TVI l'est aussi alors ?) mais effectivement on peut faire sans et l'exo a bien sa place sur le topic.

[Zetary]

Non le TVI est bien au programme. La continuité aussi mais : «On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle. On présente quelques exemples de fonctions non continues, en particulier issus de situations concrètes.» (en gros continue = «qu’on peut tracer sans lever son crayon»)

[LapinouX]

Exo 18 :

SPOILER:

Si f est dérivable sur un ouvert contenant x, alors f admet une dérivée f' sur cet ouvert contenant x.
Soit I un tel intervalle.

Tout d'abord si $ f' < 0 $ sur I, alors f est strictement décroissante donc monotone sur I.
De même si $ f' > 0 $ sur I, alors f est strictement croissante donc monotone sur I.
Si $ f' = 0 $ sur I, f est la fonction constante et est donc monotone sur I.

Supposons maintenant que f' s'annule n fois sur I en les points d'abscisses $ n_1 , n_2 , .. $, on peut donc décomposer I en n+1 intervalles ouverts $ I_1 , I_2 , .. $.
Ainsi $ I = \bigcup _{i=1}^{n+1} I'_i \cup \bigcup _{i=1}^{n} \{n_i\} $

Si $ x \in I'_k $ ,avec $ 1 \leq k \leq n+1 $, alors f' est soit strictement positive, soit strictement négative et par conséquent f est strictement monotone sur cet $ I_k $.

Si $ x \in \{n_k\} $, avec $ 1 \leq k \leq n $, alors on distingue deux cas :
Premièrement si f' sur $ I_k $ est du même signe que f' sur $ I_{k+1} $, alors f' est soit positive, soit négative sur $ I_k \cup I_{k+1} $ et pas conséquent f est monotone sur $ I_k \cup I_{k+1} $ qui contient bien x.
Ensuite si f' sur $ I_k $ est du signe contraire de f' sur $ I_{k+1} $, alors x se situe sur un extrémum de f, et par conséquent dans ce cas il n'existe pas d'ouvert contenant x où f est monotone.

[1sala23]

Ma solution pour le problème 13 :

SPOILER:

On a $ \forall x\in\mathbb{R}, f(x) = c_0 + c_1\times x^1+\ldots+ c_{2n+1}x^{2n+1} = x^{2n+1}\times ( c_{2n+1} + \frac{c_{2n}}{x} +\ldots+ \frac{c_0}{x^{2n+1}}) $
Où n est un entier naturel et $ (c_0,\ldots, c_{2n+1}) $ des réels avec $ c_{2n+1} \neq 0 $.
(Factorisation pour $ x \neq 0 $)

Or, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{c_{2n}}{x}=\cdots =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{c_0}{x^{2n+1}} = 0 $
De même pour la limite en $ -\infty $.

Ainsi, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (c_{2n+1} + \frac{c_{2n}}{x}+ \cdots + \frac{c_0}{x^{2n+1}}) = c_{2n+1} $ (même résultat en $ -\infty $)
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^{2n+1} = + \infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^{2n+1} = - \infty $

Si $ c_{2n+1} > 0 $, alors $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = + \infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = - \infty $
Et si $ c_{2n+1} < 0 $, alors $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = - \infty $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = + \infty $

$ f(x) $ est une fonction polynome, elle est donc continue sur $ \mathbb{R} $, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f(x) = 0 $ admet au moins une solution réelle.

Edit : précision pour la factorisation.

[Zetary]

Supposons maintenant que f' s'annule n fois sur I

f' pourrait s’annuler une infinité de fois

[LapinouX]

Une fonction peut s'annuler une infinité de fois sur un ouvert I sans être la fonction nulle sur un sous intervalle de I ?

[matmeca_mcf1]

Oui
$$
]0,1[\to \mathbb{R}\\
x\mapsto x^2\sin(\frac{1}{x})
$$