Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par LapinouX » 05 juil. 2018 22:50

Bravo ! Tu as juste oublié de mettre le p! (dénominateur de 4) expression de u_2p) au carré, même si je sais que c'est un oublie LaTeX ;)
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 06 juil. 2018 21:02

@Errys : Bien mais il y a quelques petits problèmes ^^’
Pour montrer que $ (u_n) $ est majorée par une suite géométrique de raison $ \frac{1}{2} $, ton hérédité commence un cran trop tard (comme si tu montrais P(0) et P(n) => P(n+1) pour n>0 ; on ne peut rien en déduire)
En déduire le domaine de définition de $ f $ : en fait dans l’énoncé le domaine concerné était inclus dans R+ (en réalité c’est bien R mais c’est un peu plus délicat à prouver, l’argument que tu donnes pour les négatifs me semble d’ailleurs incorrect), d’où l’intérêt de définir g à la fin.
Et justement la fin mérite une étude un peu plus précise du recollement (pourquoi g est-elle dérivable en 0 ?)

J’espère qu’on me pardonnera une remarque hp :
SPOILER:
Le résultat de l’exo tient en fait en une formule célèbre, souvent prise comme déf de l’exponentielle : $$ e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} $$ valable sur tout $ \mathbb{C} $. Il est intéressant de l’évaluer en 1 mais aussi d’en prendre les parties réelle et imaginaire…

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 06 juil. 2018 21:52

Merci pour les remarques.

J'avais pas pensé au fait que si $ 2x $ n'est pas entier alors l'entier supérieur ou égal à 2x sera différent de celui inférieur ou égal ^^ Normalement c'est corrigé, la preuve ne change pas.
C'est vrai que c'est pas aussi simple pour $ x < 0 $, je suis allé trop vite :p Je vais essayer de démontrer aussi pour $ x<0 $, ca peut faire un bon exercice !
Ducoup, j'ai entièrement rédigé les deux dernières questions (j'ai édité mon poste).
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 06 juil. 2018 22:04

Dernière erreur : à un moment tu confonds (u_n) et (v_n) : f est donnée par la limite de v_n donc il te manque une étape

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 06 juil. 2018 22:24

Arg en effet, il faut que je somme les inégalités et que j'ajoute les termes manquants.... Je vais faire ca, merci.
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 06 juil. 2018 22:36

En théorie c'est corrigé, mais je suis trop fatigué pour l'assurer avec certitude, je vais bien me relire demain.
Merci encore pour l'exo et pour les remarques.
Bonne soirée !
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 06 juil. 2018 22:59

C’est bon (en fait ton K fait mieux que tendre vers 0, il est nul ^^)

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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 06 juil. 2018 23:46

Cool merci.
En effet les termes s'annulent ^^
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 07 juil. 2018 17:57

Exercice 22 :

Calculer pour tout entier naturel non nul la somme suivante :
$$ S_n = \sum_{k=1}^n \sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{(k+1)^2}} $$
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Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par LapinouX » 08 juil. 2018 01:01

Solution de l'exo 22 :
SPOILER:
Soit $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} $
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} $
Puisque $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $, on a $ k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2 $ et la somme devient $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)} $ qu'on peut réécrire $ S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : $ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
Donc $ S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} $
Enfin par téléscopage on a $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} $
Finalement $ S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1} $
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