Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[1sala23]

Salut !

Vu que le précédent fil a été renommé car trop de hors programme, on recommence sur celui là

Les TS intéressés peuvent déjà regarder ce polycopié qui a pas mal d'exercices sympa : http://louislegrand.org/images/stories/ ... MINALE.pdf

Après, postez des exercices accessibles avec les connaissances de TS mais un peu plus poussé (et si une connaissance HP intervient, l'expliquer )

Voici les règles du post :
- Pas de Hors-Programme par rapport au cours de TS (voir le spoiler pour connaître les grandes lignes du programme)

SPOILER:

- Suites (limites / monotonie / majorée - minorée / suite géométrique - arithmétique)
- Fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme népérien, trigonométriques) + dérivée + primitives
- Intégrales
- Complexes (forme algébrique - trigonométrique .. / conjugués etc / représentation géométrique)
- Géométrie dans l'espace (orthogonalité / colinéarité / produit scalaire / équation cartésienne de plan / équation paramétriques de droites ..)
- Probabilités (conditionnelles / indépendance ..)
- Probabilités (loi binomiales / uniforme / exponentielle / normale / théorème de Moivre-Laplace / Espérance / Variance / Écart-type)
- Intervalles de fluctuation / de confiance

Spé maths :
- Arithmétique (nombres premiers / congruences / théorème de Bézout / théorème de Gauss ...)
- Matrices

- Mettre les solutions proposées en spoiler pour laisser les autres chercher

[1sala23]

PS : Si vous voulez compléter le programme de TS (j'ai probablement oublié quelques points) ou rajouter une règle qui vous semble pertinente, dites le, n'hésitez pas !

[pasteak]

Un petit exo de mise en jambe qui satisfaira petits et grands, aucun outil complexe à utiliser
Même faisable par des PS si certains passent par là !

Problème 1:

Soit $ f:x\mapsto x+1 $ et $ g:x\mapsto \frac {x}{x+1} $.
Montrer que l'on peut obtenir la fraction $ \frac{7891}{1987} $ à partir de la valeur 1, en appliquant successivement $ f $ ou $ g $. Y-a-t-il plusieurs solutions ?

[Wazzi]

SPOILER:

Soit $(a_n)$ la suite des numérateurs de nos fractions.
Soit $(b_n)$ la suite des dénominateurs
On a $a_0=b_0=1$

A chaque tour, on peut :
-soit assigner à $a_{n+1}$ la valeur $a_n+b_n$
-Soit assigner à $b_{n+1}$ la valeur $a_n+b_n$

L'objectif étant d'arriver à $a_n=7891$ et $b_n=1987$
En faisant l'algorithme précédent en inversé, on s'aperçoit qu'il suffit de trouver $a_n=1930$ et $b_n=1987$, puis qu'il suffit de trouver $a_n=1930$ et $b_n=57$ etc.
On repère ici l'utilisation d'un algorithme d'Euclide ! Puisque la fraction originale est irréductible, $7891$ et $1987$ sont premiers entre eux et on aboutira bien à une solution.

En fait, on vient de prouver que tout rationnel peut être approché par la combinaison de nos deux fonctions…

On a $\frac{7891}{1987}=f(f(f(g(f(f(f(g(f(f(f(f(f(f(g(g(g(g(g(g(g(1)))))))))))))))))))))$

Pour l'unicité, je cherche encore un peu...

[Wazzi]

SPOILER:

Ah ! J'y suis : quels peuvent être $a_{n-1}$ et $b_{n_1}$ si $a_n=x$ et $b_n=y $ ?
Ils peuvent valoir $x;(y-x)$ ou bien $x-y;(y)$ seulement, on trouve par une récurrence immédiate que $a_n$ et $b_n$ sont des suites à valeurs uniquement positives ! Dès lors, puisque $x<y$ ou $y<x$, un seul des deux cas proposés ci-dessus est valide, et donc chaque couple $(a_n;b_n)$ est dépendant d'un seul couple $(a_{n-1};b_{n-1})$

Si on construit l' "arbre" des rationnels, qui part de la racine $1$, une seule branche ménera donc à $\frac{7891}{1987}$. Notre solution est donc unique.

A noter qu'on a du coup trouvé un moyen sympa de noter tous les rationnels (sauf $1$) en binaire ^^

[pasteak]

A noter qu'on a du coup trouvé un moyen sympa de noter tous les rationnels (sauf $1$) en binaire ^^

Tiens c'est vrai ça, c'est marrant !

[Wazzi]

$\frac{7891}{1987}$ ce serait $111011101111110000000$

[Wazzi]

Bon bah du coup j'en lance un autre :
Problème 2 : (peut-être trop simple, trop dur, ou trop connu, désolé… ) : Alice et Bertrand jouent à un jeu avec un cavalier et un échiquier 8*8.

D'abord, Alice choisit de placer le cavalier où ça l'arrange sur l'échiquier et colorie la case où elle l'a posé.

Après quoi, Bertrand doit déplacer le cavalier (à noter que le cavalier se déplace en L, regardez wikipédia si vous connaissez pas les règles des échecs). Il colorie la case ou le cavalier vient d'arriver.

Alice fait ensuite de même, puis Bertrand, et ainsi de suite.
Il est interdit de déplacer un cavalier sur une case coloriée. Un joueur qui n'a pas de coup légal perd la partie.

En admettant qu'Alice et Bertrand soient tous deux médaille Fields, lequel des deux gagnera ?

[Poliakoff]

$\frac{7891}{1987}$ ce serait $111011101111110000000$

Ça pourrait être intéressant, mais il faut aussi vérifier qu'on peut atteindre tous les rationnels avec des combinaisons de f et g.

[Errys]

2 problèmes sympa :

Problème 3 : Soit $ f $ une fonction continue de $ [0;1] $ dans $ \mathbb{R} $. On suppose que $ f(0) = f(1) = 0 $ et que pour tout $ x\in[0;0.7] $, $ f(x)\neq f(x+0.3) $.
Montrer que $ f $ s'annule au moins 7 fois.

Problème 4 : On note E(x) la partie entière du réel x. E(X) est le plus grand entier $ n\le x $.
Calculer, pour tout réel $ x\ge 0 $ les intégrale suivantes
$$ A_x = \int_{0}^x E(t)dt $$
Et plus dur :
$$ B_x = \int_{0}^{x}E(2^t)dt $$