Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Sisstouk]

Solution de l'exo 22 :

SPOILER:

Soit $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} $
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} $
Puisque $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $, on a $ k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2 $ et la somme devient $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)} $ qu'on peut réécrire $ S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : $ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
Donc $ S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} $
Enfin par téléscopage on a $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} $
Finalement $ S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1} $

J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?

[LapinouX]

Je vous répondre par message privé si cela ne vous dérange pas ^^

[Sisstouk]

Aucun souci

[Errys]

Pourquoi est-ce que pour tout x réel, $ f(x\times T) = f(0) $ ?

Je voulais dire x entier.

[JeanN]

Solution de l'exo 22 :

SPOILER:

Soit $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} $
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} $
Puisque $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $, on a $ k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2 $ et la somme devient $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)} $ qu'on peut réécrire $ S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : $ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
Donc $ S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} $
Enfin par téléscopage on a $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} $
Finalement $ S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1} $

J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?

Ton prof fera ça très bien l’an prochain !

[jmctiti]

J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?

Si tu regardes les premières valeurs $ k=1 $, $ k=2 $ voire $ k=3 $, tu peux te rendre compte que le numérateur de la fraction réduite est un carré, et que pour ces valeurs, il s'exprime facilement en fonction de $ k $ : c'est le carré de $ k (k+1)+1 $

Cela peut te donner une façon bien plus simple de calculer pour trouver ce carré, en ne touchant pas au carré $ k^2 (k+1)^2 $ et en ne développant que le reste pour faire apparaître ce que l'on attend.

Quant aux termes que tu ne comprends pas, c'est normal, tu les apprendras l'an prochain.

Édit : suppresion des spoilers qui ne voulaient pas s'ouvrir

[Simon Billouet]

La fonction arc tangente est hors du programme du lycée. D'ailleurs, même la fonction tangente l'est...

[lkazikian]

Salut les gars, voilà je rentre en MPSI et je n’y arrive pas avec ces deux exercices meme avec la pseudo correction du polycopié. Si quelqu’un peut m’aider ou même me donner des pistes. Merci beaucoup

[lkazikian]

Solution de l'exo 22 :

SPOILER:

Soit $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} $
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} $
Puisque $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $, on a $ k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2 $ et la somme devient $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)} $ qu'on peut réécrire $ S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : $ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
Donc $ S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} $
Enfin par téléscopage on a $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} $
Finalement $ S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1} $

J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?

Tiens je te donne ce que j’ai fait

[Luckyos]

Salut les gars, voilà je rentre en MPSI et je n’y arrive pas avec ces deux exercices meme avec la pseudo correction du polycopié. Si quelqu’un peut m’aider ou même me donner des pistes. Merci beaucoup

Si tu veux de l'aide, essaie d'être plus clair sur ce que t'as pas réussi, et sur les pistes que t'as essayées, ça sera plus simple pour tout le monde

Sinon ces deux exercices sont pas les plus instructifs du polys et sont un peu bizarres si je me rappelle bien.