Exercices de mpsi (et un peu de terminale)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Une fonction continue n'est pas forcément monotone par morceaux.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
@Nabuco
Je m’étais appuyé sur ce message pour considérer d’emblée que f était continue.
Ah oui ? Je ne savais pas ! Ça parait contre-intuitif de prime abord. Donc ma contradiction ne fonctionne pas. Je n’ai plus qu’à en chercher une nouvelle alorsmatmeca_mcf1 a écrit : ↑03 juil. 2018 20:55Une fonction continue n'est pas forcément monotone par morceaux.
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Tu as oublié de compléter l'argument... car $ $$f$ n'est dérivable en aucun point bien qu'elle soit continue... Mais cela ne sent pas trop "l'exercice" jouable en sortie de terminale :p
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ca sent surtout les fonctions de Weierstrass ...
2018 - 2020 : HX2 - MP*3 Louis-Le-Grand
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Sympa, j’viens de voir des images sur google et ça fait beaucoup penser aux fractales. On en apprend tous les jours
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Oui d'ailleurs les courbes représentatives des fonctions de W sont des fractales je crois (enfin je veux pas trop m'avancer non plus ), mais c'est clairement sympas, comme l'ensemble de Mandelbrot (https://www.youtube.com/watch?v=Y4ICbYtBGzA&t=0s) enfin je m'égare
2018 - 2020 : HX2 - MP*3 Louis-Le-Grand
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Non, une fonction monotone est Lebesgue-presque-partout dérivable, mais on s'éloigne du sujet ^^'
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Pour ton avant dernier exemple, ce n'est pas vrai! C'est un théorème difficile de Gerver (sur la dite: "seconde fonction de Riemann") que cette fonction a précisément un ensemble de points de dérivabilité très spécial (le quotient de deux entiers impairs si mon souvenir est bon!)
Voilà le genre de technique utilisée pour étudier le "spectre" de ces fonctions : http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/docu ... ierstr.pdf (mais on s'éloigne du thread original....)
Voilà le genre de technique utilisée pour étudier le "spectre" de ces fonctions : http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/docu ... ierstr.pdf (mais on s'éloigne du thread original....)
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Exercice 19 :
Dans cet exercice, la notation $ \{x\} $ désigne la partie décimale de $ x $ que l'on définit par $ \{x\} = x - E(x) $. Pour une définition de la partie entière, on pourra se référer à l'exercice 4 : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 95#p925333
Calculer pour tout réel $ x>0 $, $ a\in\mathbb{R}^* $ et pour tout entier naturel n non nul l'intégrale :
$$ I_x = \int_{0}^x \left\lbrace\frac{t}{a}\right\rbrace^n dt $$
Dans cet exercice, la notation $ \{x\} $ désigne la partie décimale de $ x $ que l'on définit par $ \{x\} = x - E(x) $. Pour une définition de la partie entière, on pourra se référer à l'exercice 4 : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 95#p925333
Calculer pour tout réel $ x>0 $, $ a\in\mathbb{R}^* $ et pour tout entier naturel n non nul l'intégrale :
$$ I_x = \int_{0}^x \left\lbrace\frac{t}{a}\right\rbrace^n dt $$
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Exercice 20 :
1) Montrer la formule de l'intégration par parties :
$ \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx $
Soit la suite définie par $ \forall n \in \mathbb{N} : u_n = \int_{0}^{\pi /2} sin^n(x) dx $
2) Calculer $ u_0 $ et $ u_1 $
3) Montrer que $ u_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} u_{n} $
4) Donner deux formules pour $ u_{2p} $ et $ u_{2p+1} $ avec p un entier naturel (une formule faisant intervenir un produit, et une faisant intervenir les factorielles)
5) On admet que $ \lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \frac{u_{2p+1}}{u_{2p}} = 1 $, en utilisant les formules faisant intervenir le produit, montrer que $ \frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{4k^2}{4k^2 - 1} $
Indice pour la question 5 :
1) Montrer la formule de l'intégration par parties :
$ \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx $
Soit la suite définie par $ \forall n \in \mathbb{N} : u_n = \int_{0}^{\pi /2} sin^n(x) dx $
2) Calculer $ u_0 $ et $ u_1 $
3) Montrer que $ u_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} u_{n} $
4) Donner deux formules pour $ u_{2p} $ et $ u_{2p+1} $ avec p un entier naturel (une formule faisant intervenir un produit, et une faisant intervenir les factorielles)
5) On admet que $ \lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \frac{u_{2p+1}}{u_{2p}} = 1 $, en utilisant les formules faisant intervenir le produit, montrer que $ \frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{4k^2}{4k^2 - 1} $
Indice pour la question 5 :
SPOILER:
2018 - 2020 : HX2 - MP*3 Louis-Le-Grand