Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 13 févr. 2018 09:22

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par matmeca_mcf1 » 03 juil. 2018 20:55

Une fonction continue n'est pas forcément monotone par morceaux.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Messages : 5

Inscription : 17 nov. 2017 20:53

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Chronoxx » 03 juil. 2018 21:11

Zetary a écrit :
02 juil. 2018 15:12
Le TVI affirme exactement que l’image (par une fonction continue) d’un intervalle est un intervalle, mais l’énoncé donne déjà cette hypothèse sur f donc inutile de montrer qu’elle est continue
@Nabuco
Je m’étais appuyé sur ce message pour considérer d’emblée que f était continue.
matmeca_mcf1 a écrit :
03 juil. 2018 20:55
Une fonction continue n'est pas forcément monotone par morceaux.
Ah oui ? Je ne savais pas ! Ça parait contre-intuitif de prime abord. Donc ma contradiction ne fonctionne pas. Je n’ai plus qu’à en chercher une nouvelle alors :)
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Messages : 0

Inscription : 16 oct. 2017 22:49

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par BobbyJoe » 03 juil. 2018 23:48

Tu as oublié de compléter l'argument... car $ $$f$ n'est dérivable en aucun point bien qu'elle soit continue... Mais cela ne sent pas trop "l'exercice" jouable en sortie de terminale :p

Messages : 2

Inscription : 06 juin 2018 22:10

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par LapinouX » 03 juil. 2018 23:59

Ca sent surtout les fonctions de Weierstrass ... :D
2018 - 2020 : HX2 - MP*3 Louis-Le-Grand

Messages : 5

Inscription : 17 nov. 2017 20:53

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Chronoxx » 04 juil. 2018 00:17

LapinouX a écrit :
03 juil. 2018 23:59
Ca sent surtout les fonctions de Weierstrass ... :D
Sympa, j’viens de voir des images sur google et ça fait beaucoup penser aux fractales. On en apprend tous les jours :mrgreen:
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020

<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Messages : 2

Inscription : 06 juin 2018 22:10

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par LapinouX » 04 juil. 2018 00:24

Oui d'ailleurs les courbes représentatives des fonctions de W sont des fractales je crois (enfin je veux pas trop m'avancer non plus :) ), mais c'est clairement sympas, comme l'ensemble de Mandelbrot (https://www.youtube.com/watch?v=Y4ICbYtBGzA&t=0s) enfin je m'égare
2018 - 2020 : HX2 - MP*3 Louis-Le-Grand

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2016 21:39

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Zetary » 04 juil. 2018 01:18

Non, une fonction monotone est Lebesgue-presque-partout dérivable, mais on s'éloigne du sujet ^^'

Messages : 0

Inscription : 16 oct. 2017 22:49

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par BobbyJoe » 04 juil. 2018 07:10

Pour ton avant dernier exemple, ce n'est pas vrai! C'est un théorème difficile de Gerver (sur la dite: "seconde fonction de Riemann") que cette fonction a précisément un ensemble de points de dérivabilité très spécial (le quotient de deux entiers impairs si mon souvenir est bon!)
Voilà le genre de technique utilisée pour étudier le "spectre" de ces fonctions : http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/docu ... ierstr.pdf (mais on s'éloigne du thread original....)

Messages : 0

Inscription : 04 oct. 2017 15:58

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par Errys » 05 juil. 2018 12:30

Exercice 19 :

Dans cet exercice, la notation $ \{x\} $ désigne la partie décimale de $ x $ que l'on définit par $ \{x\} = x - E(x) $. Pour une définition de la partie entière, on pourra se référer à l'exercice 4 : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 95#p925333

Calculer pour tout réel $ x>0 $, $ a\in\mathbb{R}^* $ et pour tout entier naturel n non nul l'intégrale :
$$ I_x = \int_{0}^x \left\lbrace\frac{t}{a}\right\rbrace^n dt $$
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?

Messages : 2

Inscription : 06 juin 2018 22:10

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exercices de pré-rentrée MPSI

Message par LapinouX » 05 juil. 2018 13:50

Exercice 20 :

1) Montrer la formule de l'intégration par parties :

$ \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx $

Soit la suite définie par $ \forall n \in \mathbb{N} : u_n = \int_{0}^{\pi /2} sin^n(x) dx $

2) Calculer $ u_0 $ et $ u_1 $

3) Montrer que $ u_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} u_{n} $

4) Donner deux formules pour $ u_{2p} $ et $ u_{2p+1} $ avec p un entier naturel (une formule faisant intervenir un produit, et une faisant intervenir les factorielles)

5) On admet que $ \lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \frac{u_{2p+1}}{u_{2p}} = 1 $, en utilisant les formules faisant intervenir le produit, montrer que $ \frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{4k^2}{4k^2 - 1} $
Indice pour la question 5 :
SPOILER:
Remarquer que $ \lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \frac{u_{2p+1}}{u_{2p}/\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $
2018 - 2020 : HX2 - MP*3 Louis-Le-Grand

Répondre