Sujet MP X-ENS Maths-B

[Léopol Ikheneche]

Bonjour,
Que proposez-vous pour la résolution de la toute première question du sujet MP X-ENS Maths-B de cette année ?

[Tourmente]

Lequel ?

[Léopol Ikheneche]

Celui-ci : http://sujets.net/sujets/xens/2018/mp/maths2.pdf

[789]

1-a) Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
b) Par l'absurde, caractère C1 des solutions et théorème de Rolle

[BijouRe]

Pense à un théoréme de cours que tu as du voir pendant le chapitre sur les équations différentielles

[Léopol Ikheneche]

J'ai trop compliqué... Merci beaucoup.

[Tourmente]

Je suis pas sur mais je propose quelque chose quand même :
1)a) Je considère l'application qui a une solution x associe le couple ( x(s) , x'(s) ) , cette application est bijective vu le théorème de Cauchy-Lipschitz et linéaire. Son noyau est donc l'application nulle, ainsi comme on recherche une solution non nulle,nécessairement x'(s) =/= 0 .

1)b) Tu écris un développement limité au voisinage d'un de tes zéros (que tu appelles t0) et tu utilises la question précédente pour montrer que sur un voisinage de t0 ta fonction est non nulle et donc que ses zéros sont isolés.

[Zetary]

Pour la b) on peut se passer de Rolle : supposons par l'absurde X infini, on trouve une suite $ (x_n) $ d'éléments deux à deux distincts de X (à valeurs dans [0,1]). On en extrait une suite convergente vers l qui n'atteint jamais l (elle l'atteignait au plus une fois et on peut retirer ce terme). Par continuité de x, x(l) = 0, et x'(l) existe donc est égal à $ \lim_{n\to \infty} \frac{x(x_n) - x(l)}{x_n-l} = \lim_{n\to \infty} 0 = 0 $ donc par la question a) on a une contradiction

[789]

Je suis pas sur mais je propose quelque chose quand même :
1)a) Je considère l'application qui a une solution x associe le couple ( x(s) , x'(s) ) , cette application est bijective vu le théorème de Cauchy-Lipschitz et linéaire. Son noyau est donc l'application nulle, ainsi comme on recherche une solution non nulle,nécessairement x'(s) =/= 0 .

1)b) Tu écris un développement limité au voisinage d'un de tes zéros (que tu appelles t0) et tu utilises la question précédente pour montrer que sur un voisinage de t0 ta fonction est non nulle et donc que ses zéros sont isolés.

Pour la b, avoir des points distincts isolés n'implique pas qu'ils sont en nombre finis, même dans un compact. Par exemple l'ensemble $ \{ \frac{1}{n} , \, n\in \mathbb{N} \} $ n'admet que des points isolés dans $ [0,1] $ et est infini.

Pour la b) on peut se passer de Rolle : supposons par l'absurde X infini, on trouve une suite $ (x_n) $ d'éléments deux à deux distincts de X (à valeurs dans [0,1]). On en extrait une suite convergente vers l qui n'atteint jamais l (elle l'atteignait au plus une fois et on peut retirer ce terme). Par continuité de x, x(l) = 0, et x'(l) existe donc est égal à $ \lim_{n\to \infty} \frac{x(x_n) - x(l)}{x_n-l} = \lim_{n\to \infty} 0 = 0 $ donc par la question a) on a une contradiction

C'est vrai que c'est plus direct, et plus élégant

[Léopol Ikheneche]

Il suffisait donc de constater que l'infinité de l'ensemble induirait l'existence d'une injection de IN dans celui-ci.
Merci beaucoup pour ces réponses !