Sujet oral CCP

[LyiNkor]

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Bonjour, je n'arrive pas faire la question d, dans la correction on nous dit: "Les matrices A et B étant de même rang, elles sont équivalentes et donc il existe P,Q inversibles vérifiant A=P⁢B⁢Q." Or même rang n'implique pas que A et B sont semblables.

[prepamath]

Très juste, deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables.

Néanmoins, elles sont effectivement équivalentes

[LyiNkor]

Néanmoins, elles sont effectivement équivalentes

Semblables et équivalentes, ce n'est pas là même chose pour les matrices?

[Zetary]

Non, A et B sont équivalentes si et seulement si il existe P et Q inversibles telles que AP = QB, alors que A et B sont semblables si et seulement si il existe P inversible telle que AP = PB. En dimension finie, l'équivalence traduit seulement l'égalité des rangs, alors que la similitude est bien plus forte : B est la matrice de l'endomorphisme induit par A dans une autre base que la base canonique (la base donnée par les colonnes de la matrice P)

Par exemple I et 2I sont équivalentes mais pas semblables

[LyiNkor]

Non, A et B sont équivalentes si et seulement si il existe P et Q inversibles telles que AP = QB, alors que A et B sont semblables si et seulement si il existe P inversible telle que AP = PB. En dimension finie, l'équivalence traduit seulement l'égalité des rangs, alors que la similitude est bien plus forte : B est la matrice de l'endomorphisme induit par A dans une autre base que la base canonique (la base donnée par les colonnes de la matrice P)

Par exemple I et 2I sont équivalentes mais pas semblables

Merci