J'ai considéré l’existence d'un tel homéomorphisme R^n--->R^n+1 ,et je veux montrer R^n moins n-1 éléments de la base canonique ( de R^n) est homéomorphe a R et dont l'image par homéomorphisme est homéomorphe a R² et conclure en utilisant le Cas ou n=1 qui est simple a démontrer en utilisant la connexité par arc .
Est ce juste ? Si quelqu'un a une autre idée de démonstration sans utiliser le théorème d'invariance de domaine ( et si quelqu'un a la preuve de ce théorème ? ).
demo R^n non homéomorphe a R^n+1
Re: demo R^n non homéomorphe a R^n+1
J ai beaucoup de mal à croire au Rn privé de n-1 points est homéomorphe à R. Typiquement R et R2 privé d un point ne sont pas homéomorphes l un a un groupe fondamental trivial l autre en a un valant Z
Re: demo R^n non homéomorphe a R^n+1
Pour le cas n=2, vous pouvez utiliser la non simple connexité de R^2 privé d'un point (avec le groupe d'homotopie).
Pour le cas général, vous avez une preuve dans le Hurewicz et Walman (dimension theory) avec une définition de la dimension géométrique. Vous avez une autre preuve dans "fixed point theory" https://www.springer.com/us/book/9780387001739
De mémoire, on définit la dimension topologique (à partir des ouverts) par récurrence sur la dimension. Soit E un espace topologique et x dans E.
La preuve dans "fixed point theory" est basée sur les divisions de la sphère de dimension n et il faut d'abord démontrer que si la sphère de dimension n est recouverte par l'union de n+1 ouverts de la sphère alors l'un des ouverts contient un point et son antipode (et que c'est faux pour n+2 ouverts).
Pour le cas général, vous avez une preuve dans le Hurewicz et Walman (dimension theory) avec une définition de la dimension géométrique. Vous avez une autre preuve dans "fixed point theory" https://www.springer.com/us/book/9780387001739
De mémoire, on définit la dimension topologique (à partir des ouverts) par récurrence sur la dimension. Soit E un espace topologique et x dans E.
- E est de dimension topologique 0 (et au plus 0) en x si pour tout voisinage ouvert U de x, il existe un voinage ouvert V de x inclu dans U dont la frontière est vide.
- E est de dimension topologique au plus n+1 en x si pour tout voisinage ouvert U de x, il existe un voinage ouvert V de x inclu dans U dont la frontière est de dimension au plus n.
- E est de dimension topologique n en x s'il est de dimension topologique au plus n mais pas de dimension topologique au plus n-1.
- E est de dimension topologique n s'il est de dimension topologique n en tout x appartenant à E.
La preuve dans "fixed point theory" est basée sur les divisions de la sphère de dimension n et il faut d'abord démontrer que si la sphère de dimension n est recouverte par l'union de n+1 ouverts de la sphère alors l'un des ouverts contient un point et son antipode (et que c'est faux pour n+2 ouverts).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: demo R^n non homéomorphe a R^n+1
R^n privé d'un hyperplan n'est pas connexe par arcs donc jamais homéomorphe à R. Selon moi une des méthodes les plus rapides est l’utilisation des théorèmes d’approximation cellulaire et de Freudenthal mais ça reste long ^^