Une extension des sommes de Riemann à des fonctions non nécessairement continues par morceau

[Sylve]

Bonjour,

J'ai croisé un exo où l'on posait les questions suivantes :

Comment montrer que pour $ f $ une fonction intégrable, (pas forcément cpm), $ \frac{1}{n} \sum_0^n f(\frac{k}{n}) \rightarrow \int_{0}^{1} f(t) dt $ ? Application à la recherche d'un équivalent de $ \sum_0^n k E(\frac{n}{k}) $.

Auriez-vous des pistes ? C'est pour un collègue.

Merci !

EDIT : k/n remplacé par n/k

[zygomatique]

salut

que veut dire pour toi que f est intégrable ?

[Stuga]

Salut, je suis le collègue en question

Je me rappelle avoir lu quelque part que pour les fonctions Riemann intégrables ( c'est à dire limite uniforme de fonctions réglées ). Les sommes de Riemann marchaient encore. Je n'ai pas cherché à en savoir plus car je pensais que c'était un résultat hors de ma portée. Mais hier je suis tombé sur un exo de l'X qui demandait l'equivalent d'une somme, ou on reconnaît une somme de Riemann pour la fonction x |-> x E(1/x) .

Le problème c'est que même si cette fonction est intégrable sur [0,1], elle n'est pas cpm, et donc je ne peux pas utiliser le théorème sur les sommes de Riemann du cours, et donc j'imagine que l'exo consiste en fait a prouver le résultat que j'ai énoncé plus haut, à moins que pour cette fonction en particulier, une méthode locale soit possible ?

[zygomatique]

je ne comprends pas trop ce que vous demandez ...

il me semble que si $ 0 \le k < n $ alors $ E(k/n) = 0 $ si E(x) est bien la partie entière de x

donc $ \sum_0^n kE(k/n) = n $

[matmeca_mcf1]

Qu'est ce que vous utilisez comme définition de l'intégrabilité au sens de Riemann? Parce que dans les définitions que je connais, la convergence des sommes de Riemann sert de définition.

Après, il reste à démontrer que $ x\mapsto E(1/x) $ est intégrable au sens de Riemann sur [0,1]. Cela peut se faire en deux secondes avec le critère de Lebesgue (borné et le nombre de points de discontinuité est dénombrable donc de mesure nulle), mais je suppose que vous voulez une démonstration plus élémentaire.

[Laotseu]

Bonjour à tous. Le résultat demandé au début est faux pour une fonction intégrable sur ]0,1] (même pour une fonction continue). Pour trouver un contre-exemple, il faut construire une fonction "pic" intégrable, constitué de pics centrés en 1/n, valant n^3 en 1/n et d'aire 1/n^2 (donc il faut que la largeur des pics soit de l'ordre de 1/n^5). Alors les sommes de Riemann tendent vers l'infini alors même que f est intégrable et continue.

Pour que les sommes de Riemann convergent, il faut des conditions supplémentaires : soit f est monotone, soit f est bornée. Dans le cas f bornée, on peut couper la somme et l'intégrale sur [0,epsilon] et sur [epsilon,1], le deuxième terme converge parce que la fonction est Cpm, le premier est controlable parce que f est bornée.

[Stuga]

Ah, en effet il y a une coquille dans l'énoncé, la somme porte plutôt sur les E(n/k), et pas k/n ( Sinon la fonction aurait bien été cpm ) , désolé pour cela

Matmeca, oui tout à fait, je voudrais une démo accessible à un spé

Laotseu, je vais creuser tout ça, merci pour la piste

[Zetary]

Bonjour,

On pourra consulter l'exercice 30 de cette feuille :
http://alain.troesch.free.fr/2015/Fichiers/ana9.pdf