Oral aide

[m7bmd7]

Bonsoir comme vous voyez je n’arrive pas a calculer le polynôme caractéristique de An j’ai trouvé une relation de récurrence et je ne suis pas sure de la suite (j’ai trouvé Xn =-n +(-1)^(n+1)*x*Xn-1 en notant que Xn est la poly caractéristique de An)

936DE269-798D-46F1-8BED-4EB66A0DE3B8.png (245.22 Kio) Consulté 1677 fois

[m7bmd7]

Et pour les sous-espaces propres j’ai pas vraiment d’idée

[Samuel.A]

Salut

Tu as là une matrice dite "compagnon" et il existe une forme générale pour son polynôme caractéristique (on peut montrer qu'il est aussi égal a son polynôme minimal).

Pour retrouver ce polynôme, le mieux me semble donc de passer par cette idée et non par une relation de récurrence.

Je te conseille d'écrire la matrice (X×Id - A) et de mettre des zéros sur la dernière ligne (sauf sur le dernier coefficient en bas à gauche qui aura accumulé pas mal de termes. Pour cela commence par ajouter l'avant dernière ligne multipliée par ce qu'il faut, puis l'avant avant dernière multipliée par ce qu'il faut, etc

C'est assez technique mais ça doit marcher, ensuite il te restera pluqu'a développer par rapport a cette derniere ligne.

[Samuel.A]

Par contre je ne parvient pas à montrer que ce polynôme est à racines simples sur C, ce qui serait suffisant pour prouver la fin de la question 1..

[oty20]

Et pour les sous-espaces propres j’ai pas vraiment d’idée

Que dire du rang $ Rang(A_{n}-sI_{n}) $ ? le théorème du rang te dis quoi ?


Pour calcule de det, pas besoin de méthode extravagante développe a chaque fois ou il y a le plus de zéros, tu verras une relation de récurrence.

[m7bmd7]

On peut dire que le rg(An-sIn)=n-1 car les collones de cette matrice est indépendante donc Dimker(An-sIn)=1 d’ou le résultat

[m7bmd7]

Puisque on a montré que les sous espaces propres sont de dim 1 alors le polynôme caractéristique est scindé à racines simple d’ou An est diagonalisable
Est-ce que cela est vrai ?

[matmeca_mcf1]

Cela ne suffit pas. Regardez la matrice suivante $$ \left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right] $$ Elle n'est pas diagonalisable. Mais l'espace propre associé à son unique valeur propre 0 est de dimension 1.

Pour pouvoir conclure, il faudrait (en complexe) travailler avec les espaces caractéristiques et non avec les espaces propres.

[m7bmd7]

Dans cette exercice ils nous demandent seulement de vérifier que A3 est diagonalisable c’est simple on a son polynôme caractéristique admet trois racines complexe domc diagonalisable
J’ai pas bien compris comment on peut travailler avec les espaces caractéristique,est-ce il faut trouver les racines ? Je les ai trouvé par python

[JeanN]

Pour la diagonalisabilité de A3, il te suffit de vérifier que son polynôme caractéristique admet trois racines distinctes.