Caractérisation topologique continuité

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Caractérisation topologique continuité

Message par haowanr » 16 juil. 2018 21:59

Bonjour j’ai une question sur la caractérisation topologique de la continuité. Je travaille sur ce poly, cf p.5 : https://webusers.imj-prg.fr/~frederic.l ... -ecran.pdf
J’essayais de démontrer le sens “Si l’image réciproque de tout ouvert de Y par f est un ouvert alors f est continue”, mais j’ai eu un contre exemple en tête, pouvez-vous me dire le soucis :

Soit X = [0,1], Y = {0}$ \cup ${1}.

Soit $ f : X \rightarrow Y, x \mapsto \begin{cases} 0 \: \forall x \in [0,\dfrac{1}{2}[ \\1\: \forall x\in [\dfrac{1}{2},1]
\end{cases} $

Le seul ouvert de Y est $ \emptyset $ or $ f^{-1}(\emptyset) = \emptyset $, on a bien que tout ouvert de Y a pour image réciproque par f un ouvert.
Pour autant f n’est pas continue.
Où est-ce que je me trompe ? Quelque chose m'échappe dans les définitions ou les hypothèses ? X et Y muni de la distance euclidienne classique sont bien des espaces métriques non ?

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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par matmeca_mcf1 » 16 juil. 2018 22:09

Le concept d'ouvert ou de fermé dépend de l'espace dans lequel on se place. Un ensemble n'est pas intrinsèquement ouvert ou fermé, il est ouvert dans un espace topologique. Ainsi
  • $ \{0\} $ n'est pas un ouvert de $ \mathbb{R} $ muni de la topologie usuelle.
  • $ \{0\} $ est un ouvert de $ \{0\}\cup\{1\} $ (où $ \{0\}\cup\{1\} $ est muni d'une topologie comme sous-espace topologique de $ \mathbb{R} $).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par haowanr » 16 juil. 2018 22:55

merci, je vois l'idée. Par contre la notion de topologie et d'espace topologique n'est pas introduite à ce stade.
Si je reprends les defs du poly, on a :

$ \left\{ 0 \right\} $ ouvert puisque pour tout $ x\in \left\{ 0 \right\}, \exists \epsilon >0 \ B(x,\epsilon) \subset \left\{ 0 \right\} $ par exemple on prend $ \epsilon = \dfrac{1}{2} $ on a $ B(0,\dfrac{1}{2}) = \left\{ 0 \right\} \subset \left\{ 0 \right\} $ (c'est cette dernière égalité qu'on aurait pas eu dans $ \mathbb{R} $

Et l'image réciproque de $ \left\{ 0 \right\} $ n'est pas un ouvert donc le thm ne s'applique pas.

Merci !

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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par MATHADOR » 17 juil. 2018 11:02

Je n'ai pas lu en détai ce poly mais il ne parle quasiment pas de topologie générale donc n'espère pas bâtir de solides connaissance avec ça. De plus, ce poly se base (ou se basait) sur celui du responsable d'UE, dont le poly est objectivement nul à chier, que ce soit en terme d'approche ou même selon le contenu (mauvaises définitions notamment, avec le cas typique des gens qui particularisent l'ensemble vide alors que ça ne sert strictement à rien).

Bref, si tu cherches à acquérir un niveau post-prépa en topologie, prends des bons cours :
- le poly de topologie de F. PAULIN (dont on peut uniquement lui reprocher la façon dont il introduit les ordinaux) ;
- en plus abordable et moins exhaustif, le tome 3 de RDO ;
- en plus exhaustif et uniquement si tu as du temps, Bourbaki (uniquement la topologie).
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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par siro » 17 juil. 2018 11:48

Le Roux bosse sur des systèmes dynamiques, et en général en SD on évite les espaces topologiques trop exotiques (intérêt limité, on a autre chose à faire que d'enfiler des drososphiles). C'est donc normal que l'approche soit approximative, c'est pas le but de tels mémos et on ne bâtit pas des connaissances solides sur des mémos (qui sont plutôt là pour se remémorer ou pour donner une petite idée d'ensemble).

Pour de vrais cours de topologie, je conseille aussi d'aller voir des bouquins dont c'est le sujet. (Attention, l'approche Bourbaki est un peu hardcore, je sais pas si je conseillerais en première lecture, y'a des approches solides qui sont moins... succinctes dans la prose.)
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par matmeca_mcf1 » 17 juil. 2018 11:51

Pourquoi post prépa? J'avais appris les bases de la topologie générale (définition des espace topologique par les ouverts et définition par les voisinages, espaces séparé (Hausdorff), régulier, normaux, lemme d'Uryshorn) pendant les vacances d'été avant d'entrer en prépa. :mrgreen: Puis je me suis aperçu que cela ne servait pas en prépa puisqu'il n'y en avait pas au programme :( Et en ENS, cela m'a beaucoup servi car les profs sont partis du point de vue que l'on connaissait la définition d'espaces topologique :D

Avoir des redondances dans une définition n'est pas une mauvaise chose. Si c'est pour dire qu'on a pas besoin de dire que le vide est un ouvert car l'union quelconque d'ouverts est vide donc en particulier l'union vide est un ouvert, c'est techniquement correct. Mais cela ne sert pas à rien: pour des raisons de lisibilité de la définition, il vaut mieux y laisser explicitement l'appartenance du vide à l'ensemble des ouverts. Il faudrait le mettre en remarque pour les étudiants de toute façon. Surtout qu'en pratique pour vérifier qu'un espace est bien un espace topologique, on va revenir au cas particulier du vide (soit l'union quelconque est sur un ensemble vide, soit l'union quelconque est sur un ensemble non vide, premier cas, l'union sur un ensemble non vide est forcément le vide or le vide appartient à T, deuxième cas ...). Si on veut supprimer une redondance, il est préférable de changer "union quelconque" en "union quelconque non vide" et de laisser dans la définition l'appartenance du vide à l'ensemble des ouverts.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par haowanr » 17 juil. 2018 20:59

Merci pour ces avis. Le truc c'est que je suis en L2 à l'UPMC et vais rentrer en L3, et c'est le poly de l'UE de topologie et calcul différentiel du S5. Même s'il s'appelle "mémo" c'est bien le poly sur lequel est basé l'UE. L'enseignant a changé mais se base toujours sur ce poly, j'imagine que si parfois il utilise d'autres définitions il le dira en amphi, mais je voulais m'avancer en collant au poly pour préparer au mieux l'UE.
Par ailleurs à titre perso j'aime beaucoup le style du poly, le fait de mettre des exos d'application directement dans le fil du cours, les remarques dans la marge, les commentaires, des pistes pour les démos sans tout détailler... J'ai eu par ailleurs des poly tellement aride / lapidaire, c'est vraiment dur de travailler sur ce genre de support... Par contre j'ai pas le recul pour juger la qualité sur le fond, mais vu vos remarques je serais vigilant et utiliserais des compléments.

Pour les compléments justement je pensais partir sur https://webusers.imj-prg.fr/~rached.mne ... -press.pdf ou https://webusers.imj-prg.fr/~rached.mne ... -press.pdf, le premier étant écrit par un ancien enseignant de cette UE justement, vous en pensez quoi ? La collection semble avoir bonne réputation.
J'étais tombé sur ça aussi http://www.topologywithouttears.net/topbook.pdf, ça me semblait plutôt bien foutu (c'est que de la topo).

Pour le cas de l'ensemble vide le poly ne me semble pas préciser que l'ensemble vide est un ouvert(que ça soit par convention ou par un autre argument). Qu'entends-tu par "particularise l'ensemble vide" ? Justement rappeler pourquoi c'est un ouvert je trouve que ça fait pas de mal, ça donne un premier exemple et une manipulation des définitions. Personnellement je vois ça par l'argument classique de "$ \forall x \in \emptyset, P $" est toujours vraie et en particulier si P = "il existe une boule ouverte de centre x" on conclut que l'ensemble vide est un ouvert.

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Re: Caractérisation topologique continuité

Message par MATHADOR » 17 juil. 2018 22:36

@matmeca_mcf1 : nous ne parlons pas de la même chose pour le vide. En effet, $ \mathcal T $ étant une partie de l'ensemble des parties d'un ensemble $ E $, les assertions suivantes sont équivalentes (savoir le démontrer nécessite d'avoir compris la première semaine de cours de sup) :
i) $ \mathcal T $ est stable par réunion quelconque et intersection finie (définition donnée par mon prof en sup, c'est aussi celle de Bourbaki il me semble) ;
ii) $ (\emptyset,E)\in\mathcal T^2 $ et $ \mathcal T $ est stable par réunion quelconque et l'intersection de deux éléments de $ \mathcal T $ est encore un élément de $ \mathcal T $ (définition de RDO).
Donc peu importe la définition de topologie qu'on prend parmi ces deux là. Ce que je critiquais, ce sont les gens et non des moindres qui font des définitions de merde qui ne servent à rien. Par exemple (c'est souvent dans le cas métrique que cela resurgit) : "un ensemble est ouvert si [insérer l'assertion usuelle] ou s'il est vide". C'est inutile et c'est de la perte de temps. De plus, ça entretien cette peur irrationnelle du vide qui existe partout en maths, alors qu'après une heure de cours en sup tout devrait être dissipé à jamais, comme l'a justifié haowanr.

Pour tes liens, le cours de Jean Saint Raymond est déjà meilleur et tu peux le prendre en référence (même si encore une fois, je préfère Paulin ou RDO). Le second lien je ne connais pas. Le troisième non plus mais je déconseille de regarder des cours de maths en anglais avant le M2, la littérature anglo-saxonne pouvant donner de mauvaises habitudes en appelant compact ce que les français nomment quasi-compacts, alors que les topologies non séparées on en croise souvent si on continue les maths en master. De plus, c'est pour le coup personnel mais les cours anglais sont souvent plus écrits "à la physicienne" en racontant une histoire (plus pédagogique diront certains), alors que je préfère le style direct et formel définition/théorème/preuve/exemple, mais c'est une question de goût.

EDIT : je viens d'ouvrir ce troisième lien. La première définition invite à ne pas lire la suite.
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