Erreur de raisonnement

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
Avatar du membre
AurelO
Messages : 184
Enregistré le : ven. juil. 18, 2014 2:43 pm
Localisation : Paris

Erreur de raisonnement

Message par AurelO » jeu. juil. 19, 2018 3:11 pm

Bonjour,

Je n'arrive pas à cerner l'erreur de raisonnement que je fais lorsque je pense au sujet suivant, si quelqu'un pouvait m'orienter...(pour les puristes je ne suis plus en prépa depuis longtemps, donc la formulation est certainement artisanale).

Si je prends deux cercles concentriques du plan, centrés en 0 et de rayon R et 3R par exemple.
Ensuite, je considère la demie-droite Ox croissants. Elle coupe chaque cercle en 1 point.
Je la fais tourner d'un tour. Tout au long de cette rotation elle coupe chaque cercle en un point.
J'imagine donc créer ainsi une bijection entre les deux cercles.
Donc, il y a le même nombre d'éléments (ie de points) dans les deux cercles). Mais 2PiR<2Pi3R. Ce qui me semble contradictoire (même nb de points mais pas "même longueur").

Je sens bien que le raisonnement pêche de coté indénombrabilité de la chose mais j'aimerais structurer la réponse.

Merci

Aurélien.

Zetary
Messages : 382
Enregistré le : mer. juin 08, 2016 9:39 pm
Classe : DMA

Re: Erreur de raisonnement

Message par Zetary » jeu. juil. 19, 2018 3:14 pm

Bonjour

Ce n’est pas contradictoire, la longueur n’est pas invariante par bijections (exemple x -> 2x de [0,1] dans [0,2] est une bijection)

Avatar du membre
U46406
Messages : 8677
Enregistré le : mer. juil. 27, 2016 7:38 pm
Classe : shadow CCO nobo CMT
Contact :

Re: Erreur de raisonnement

Message par U46406 » jeu. juil. 19, 2018 3:18 pm

Et si tu passes en géométrie polaire avec des coordonnées polaires ?
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) :mrgreen:

Avatar du membre
AurelO
Messages : 184
Enregistré le : ven. juil. 18, 2014 2:43 pm
Localisation : Paris

Re: Erreur de raisonnement

Message par AurelO » jeu. juil. 19, 2018 3:21 pm

Oui j'y ai pensé, mais c'est indépendant je pense de la où je coince.

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).

Avatar du membre
U46406
Messages : 8677
Enregistré le : mer. juil. 27, 2016 7:38 pm
Classe : shadow CCO nobo CMT
Contact :

Re: Erreur de raisonnement

Message par U46406 » jeu. juil. 19, 2018 3:35 pm

En polaires, tu as Theta qui varie de 0 à 2 Pi ...

Tu as lu le message de Zetary ?

Tu as des soucis philosophiques par rapport à l'ensemble des réels R ??
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) :mrgreen:

Zetary
Messages : 382
Enregistré le : mer. juin 08, 2016 9:39 pm
Classe : DMA

Re: Erreur de raisonnement

Message par Zetary » jeu. juil. 19, 2018 3:41 pm

AurelO a écrit :
jeu. juil. 19, 2018 3:21 pm
Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).
non si c’est la question, tous les points du deuxième cercle sont bien atteints

si tu veux (x,y) -> (3x, 3y) est la bijection entre tes deux cercles effectuée par ta demi-droite (en coordonnées cartésiennes)

Avatar du membre
AurelO
Messages : 184
Enregistré le : ven. juil. 18, 2014 2:43 pm
Localisation : Paris

Re: Erreur de raisonnement

Message par AurelO » jeu. juil. 19, 2018 4:39 pm

Zetary a écrit :
jeu. juil. 19, 2018 3:41 pm
AurelO a écrit :
jeu. juil. 19, 2018 3:21 pm
Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).
non si c’est la question, tous les points du deuxième cercle sont bien atteints

si tu veux (x,y) -> (3x, 3y) est la bijection entre tes deux cercles effectuée par ta demi-droite (en coordonnées cartésiennes)
Ok merci pour tes réponses.

Avatar du membre
jmctiti
Messages : 358
Enregistré le : mer. déc. 04, 2013 5:01 pm
Contact :

Re: Erreur de raisonnement

Message par jmctiti » jeu. juil. 19, 2018 5:07 pm

Bonsoir

Il ne faut pas confondre la longueur d'un cercle de rayon $ R $, qui vaut $ 2 \pi R $,
avec le nombre de points qu'il contient, qui est toujours infini (sauf pour le cercle point, cad lorsque $ R=0 $).

Avatar du membre
siro
Messages : 3326
Enregistré le : dim. mai 01, 2016 8:09 pm
Classe : Cassandre

Re: Erreur de raisonnement

Message par siro » jeu. juil. 19, 2018 5:56 pm

AurelO a écrit :
jeu. juil. 19, 2018 3:21 pm
Oui j'y ai pensé, mais c'est indépendant je pense de la où je coince.

Dit de manière très vulgaire: dans mon exemple, j'ai l'impression que lorsque que la droite fait sa rotation, des points du deuxième cercle sont "sautés" (non touchés par la demie droite quoi).
Hé bien... non.

Il y a autant d'éléments dans n'importe quel segment réel [a,b] où a<b. En fait, par définition, deux ensembles ont le même nombre d'éléments lorsqu'il existe une bijection entre ces deux ensembles.

En gros, imagine ton cercle de rayon R, bah tu peux l'étirer d'un facteur 2, 3, 50, 10^42, tu auras un cercle sans aucun "trou". This is la puissance du continu.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

Avatar du membre
U46406
Messages : 8677
Enregistré le : mer. juil. 27, 2016 7:38 pm
Classe : shadow CCO nobo CMT
Contact :

Re: Erreur de raisonnement

Message par U46406 » jeu. juil. 19, 2018 6:15 pm

siro a écrit :
jeu. juil. 19, 2018 5:56 pm
la puissance du continu.
Y a-t-il un lien avec la notion de topologie ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervall ... du_continu
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) :mrgreen:

Avatar du membre
AurelO
Messages : 184
Enregistré le : ven. juil. 18, 2014 2:43 pm
Localisation : Paris

Re: Erreur de raisonnement

Message par AurelO » ven. juil. 20, 2018 8:59 am

U46406 a écrit :
jeu. juil. 19, 2018 3:35 pm
En polaires, tu as Theta qui varie de 0 à 2 Pi ...

Tu as lu le message de Zetary ?

Tu as des soucis philosophiques par rapport à l'ensemble des réels R ??
Oui je l'ai lu et c'est celui qui me semble être la clef. Nonobstant la qualité des autres réponses.

Et pour te répondre, cela revient à ce oui. Quelque part j'ai du mal à conceptualiser que si je prends un segment de R et un segment de longueur double alors le nombre de point est le même: infini.

En vrac les questions sont y a t il des infinis plus "grands" que les autres, Est-ce le caractère dénombrable ou non qui fait basculer la chose? la notion de mesure joue-t-elle?

Tu peux appeler cela souci philosophique ou enfilage de perles. Moi je trouve que cela remue des concepts avec lesquels il est sympa de "jouer".

JeanN
Messages : 5374
Enregistré le : dim. sept. 04, 2005 7:27 pm
Localisation : Versailles

Re: Erreur de raisonnement

Message par JeanN » ven. juil. 20, 2018 9:44 am

Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Avatar du membre
AurelO
Messages : 184
Enregistré le : ven. juil. 18, 2014 2:43 pm
Localisation : Paris

Re: Erreur de raisonnement

Message par AurelO » ven. juil. 20, 2018 9:49 am

super lien.
merci beaucoup JeanN
Aurélien

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 20 invités