Racine n-ieme et bijectivité

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Racine n-ieme et bijectivité

Message par vladimir » 26 juil. 2018 15:46

Bonjour, j'ai un certain nombre de devoirs de vacances à accomplir, et certains exercices me posent difficulté.

Il y a notamment une question qui me turlupine depuis assez longtemps.
En gros pour prouver qu'une fonction est bijective quand on n'est plus en analyse (en gros, en mettant de coté tout le fatouin sur les fonctions monotones continues blabla), on commence par montrer :
1/ bien définie
2/ injective ET surjective
OU BIEN, on expose la réciproque. Mais cette réciproque, faut-il vérifier qu'elle est bien définie ? Ou bien son caractère bien définie découle du caractère bien définie de la fonction initiale et du fait que (nommant f et g mes deux applications), fog et gof forment l'identité ?

J'en viens ensuite aux racines n-iemes : Soit n et q deux entiers naturels non nuls, tq pgcd(q,n)=1.
On considère f définie sur Un par pour tout z appartenant à Un, f(z)=z^q. Montrer que f est un automorphisme du groupe multiplicatif Un. (avec Un l'ensemble des racines niemes complexes de l'unité).

le caractère endomorphique provient du fait que Un est un groupe multiplicatif, donc z*z*z*z*z (q fois) est encore dans Un, mais pour le caractère iso, je ne sais pas si on peut poser une réciproque style g(z)=z^(1/q) parce que dans ce cas là pour le caractère définie, c'est bcp plus vague !

merci pour votre aide et bonnes vacances a tous !

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Re: Racine n-ieme et bijectivité

Message par JeanN » 26 juil. 2018 16:22

Tu n’as pas le droit à la puissance 1/q eme ici.
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Re: Racine n-ieme et bijectivité

Message par Zrun » 26 juil. 2018 16:39

Un réflexe d’arithmétique : si pgcd(q,n)=1 alors il existe ... et tu pourras trouver ta fonction réciproque
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Re: Racine n-ieme et bijectivité

Message par vladimir » 27 juil. 2018 18:35

okay merci !!

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