EXO 10 LLG

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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s89ne
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EXO 10 LLG

Message par s89ne » mer. août 01, 2018 8:10 pm

Bonjour à tous,

Voici déjà mon troisième post pour demander de l'aide ou une vérification sur un exo du pdf de Louis Legrand. Merci encore de m'avoir éclairé pour les autres.

Voici un screenshot du problème sur lequel je suis bloqué depuis hier :
1.jpg
1.jpg (23.94 Kio) Vu 772 fois
Pour la question 1, j'avais réussi seul à trouver l'étape de la récurrence forte. Le problème revenait alors à démontrer que ⌊n/2⌋+⌊n/3⌋+⌊n/6⌋+2⩾n .
Cependant, je ne savais pas quoi faire ensuite, et mes recherches sur le forum ont indiqué qu'il fallait continuer en traitant tous les cas n = 6k, n=6k+1 etc.
Cela marche en effet très bien et me permet de résoudre le problème, cependant je ne comprend vraiment pas pourquoi j'aurai du penser à cela au lieu de perdre quelques heures à tenter de directement résoudre l'inéquation de diverses manières.. En réalité, même après beaucoup de recherche sur le problème, l'idée de faire cela ne m'a même pas effleuré l'esprit, et j'aimerai comprendre quelle facette du problème j'ai raté et pourquoi il fallait y penser rapidement.

Voila, voila, MERCIII Infiniment pour vos futures réponses! <3
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.

Luckyos
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Re: EXO 10 LLG

Message par Luckyos » mer. août 01, 2018 8:33 pm

En premier lieu, on essaie souvent d'utiliser \( \left \lfloor x \right \rfloor > x - 1 \), mais ici ça a pas l'air de marcher (j'ai pas essayé). Ca veut donc dire que cette inégalité n'est pas assez forte (dans certains cas, on fait quasiment une "erreur" de 1) pour résoudre le problème.

Il faut alors s'intéresser au comportement précis des parties entières. Or, \( \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \) est exactement le quotient dans la division euclidienne de \( a \) par \( b \) (on s'en rend compte en faisant des essais avec des petites valeurs, et ça se démontre facilement).

D'où l'idée de raisonner modulo 2, 3 ou 6 pour faire apparaître des quotients, puis on se rend compte qu'il faut le faire avec 6 pour avoir une expression explicite des parties entières.

J'ai pas l'impression d'avoir été très clair, mais l'idée c'est vraiment qu'il faut contrôler finement les parties entières, et ça passe nécessairement par des quotients de divisions euclidiennes ici.

Ps : c'est très bien que tu te poses ce genre de question, c'est exactement comme ça qu'on progresse en maths en prépa, en comprenant comment avoir telle ou telle idée même si on a très bien compris mathématiquement.
Modifié en dernier par Luckyos le mer. août 01, 2018 8:38 pm, modifié 1 fois.
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Nabuco
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Re: EXO 10 LLG

Message par Nabuco » mer. août 01, 2018 8:35 pm

s89ne a écrit :
mer. août 01, 2018 8:10 pm
Bonjour à tous,

Voici déjà mon troisième post pour demander de l'aide ou une vérification sur un exo du pdf de Louis Legrand. Merci encore de m'avoir éclairé pour les autres.

Voici un screenshot du problème sur lequel je suis bloqué depuis hier :
1.jpg

Pour la question 1, j'avais réussi seul à trouver l'étape de la récurrence forte. Le problème revenait alors à démontrer que ⌊n/2⌋+⌊n/3⌋+⌊n/6⌋+2⩾n .
Cependant, je ne savais pas quoi faire ensuite, et mes recherches sur le forum ont indiqué qu'il fallait continuer en traitant tous les cas n = 6k, n=6k+1 etc.
Cela marche en effet très bien et me permet de résoudre le problème, cependant je ne comprend vraiment pas pourquoi j'aurai du penser à cela au lieu de perdre quelques heures à tenter de directement résoudre l'inéquation de diverses manières.. En réalité, même après beaucoup de recherche sur le problème, l'idée de faire cela ne m'a même pas effleuré l'esprit, et j'aimerai comprendre quelle facette du problème j'ai raté et pourquoi il fallait y penser rapidement.

Voila, voila, MERCIII Infiniment pour vos futures réponses! <3
Raisonner modulo 6 ici me semble pénible et peu utile
En fait il y a beaucoup plus simple que ce que tu as fait.
Déjà par récurrence forte un est à valeurs entières.
Ensuite tu montres par récurrence forte l.inégalité voulue. L initialisation est évidente. L hérédité est un peu plus complexe. En couplant l hypothèse de récurrence avec le fait que partie entière de x >x-1, on obtient un>n Comme la suite est à valeurs entière un>=n+1.

Là en fait il n y a rien de conceptuellement très compliqué. L idée de faire une récurrence forte est plutôt naturelle, ensuite pour l hérédité on applique bêtement l hypothèse de récurrence. Le problème c est qu on a des parties entières et on n en veut pas, donc on minore la partie entière par la seule inégalité qu on a.
Après on arrive à un>n. Là c est pas évident de savoir si il faut un argument supplémentaire ou si les majorations précédentes sont juste trop faibles, et c est là que si on calcule les premiers termes on voit que c est à valeurs entières et qu on a bien la minoration voulue

s89ne
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Re: EXO 10 LLG

Message par s89ne » mer. août 01, 2018 8:57 pm

Luckyos a écrit :
mer. août 01, 2018 8:33 pm
En premier lieu, on essaie souvent d'utiliser \( \left \lfloor x \right \rfloor > x - 1 \), mais ici ça a pas l'air de marcher (j'ai pas essayé). Ca veut donc dire que cette inégalité n'est pas assez forte (dans certains cas, on fait quasiment une "erreur" de 1) pour résoudre le problème.

Il faut alors s'intéresser au comportement précis des parties entières. Or, \( \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \) est exactement le quotient dans la division euclidienne de \( a \) par \( b \) (on s'en rend compte en faisant des essais avec des petites valeurs, et ça se démontre facilement).

D'où l'idée de raisonner modulo 2, 3 ou 6 pour faire apparaître des quotients, puis on se rend compte qu'il faut le faire avec 6 pour avoir une expression explicite des parties entières.

J'ai pas l'impression d'avoir été très clair, mais l'idée c'est vraiment qu'il faut contrôler finement les parties entières, et ça passe nécessairement par des quotients de divisions euclidiennes ici.

Ps : c'est très bien que tu te poses ce genre de question, c'est exactement comme ça qu'on progresse en maths en prépa, en comprenant comment avoir telle ou telle idée même si on a très bien compris mathématiquement.
Merci beaucoup pour ta réponse!!! :D
Je pense avoir compris! :D :D
Donc, l'on essaie de se "débarrasser de la notation partie entière" qui rend tout calcul pénible en résonnant modulo 6, qui étant à la fois divisible par 2 et par 3, permet de simplifier l’expression?
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Luckyos
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Re: EXO 10 LLG

Message par Luckyos » mer. août 01, 2018 9:11 pm

s89ne a écrit :
mer. août 01, 2018 8:57 pm
Luckyos a écrit :
mer. août 01, 2018 8:33 pm
En premier lieu, on essaie souvent d'utiliser \( \left \lfloor x \right \rfloor > x - 1 \), mais ici ça a pas l'air de marcher (j'ai pas essayé). Ca veut donc dire que cette inégalité n'est pas assez forte (dans certains cas, on fait quasiment une "erreur" de 1) pour résoudre le problème.

Il faut alors s'intéresser au comportement précis des parties entières. Or, \( \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \) est exactement le quotient dans la division euclidienne de \( a \) par \( b \) (on s'en rend compte en faisant des essais avec des petites valeurs, et ça se démontre facilement).

D'où l'idée de raisonner modulo 2, 3 ou 6 pour faire apparaître des quotients, puis on se rend compte qu'il faut le faire avec 6 pour avoir une expression explicite des parties entières.

J'ai pas l'impression d'avoir été très clair, mais l'idée c'est vraiment qu'il faut contrôler finement les parties entières, et ça passe nécessairement par des quotients de divisions euclidiennes ici.

Ps : c'est très bien que tu te poses ce genre de question, c'est exactement comme ça qu'on progresse en maths en prépa, en comprenant comment avoir telle ou telle idée même si on a très bien compris mathématiquement.
Merci beaucoup pour ta réponse!!! :D
Je pense avoir compris! :D :D
Donc, l'on essaie de se "débarrasser de la notation partie entière" qui rend tout calcul pénible en résonnant modulo 6, qui étant à la fois divisible par 2 et par 3, permet de simplifier l’expression?
Ouais c'est l'idée, les parties entières ça fait souvent peur et tel quel c'est pas hyper pratique, on évite de se les trimbaler trop longtemps.
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matmeca_mcf1
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Re: EXO 10 LLG

Message par matmeca_mcf1 » mer. août 01, 2018 9:25 pm

Pour le a), on peut parfaitement s'en sortir avec une récurrence forte, et l'inégalité \( \lfloor x\rfloor>x-1 \).
SPOILER:
Sans rédiger (laissé en exo au lecteur), on obtient en utilisant une hypothèse de récurrence que
$$
u_n\geq\lfloor n/2\rfloor+1+\lfloor n/3\rfloor+1+\lfloor n/6\rfloor+1 > n/2+1-1+n/3+1-1+n/6+1-1=n
$$
et \( u_n \) est un entier, donc \( u_n \geq n+1 \)
EDIT:Devancé.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Luckyos
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Re: EXO 10 LLG

Message par Luckyos » mer. août 01, 2018 9:58 pm

J'aurais donc du essayer ^^

Mais pour l'auteur c'est pas non plus une mauvaise idée de savoir pourquoi on peut penser à raisonner modulo 6 ;)
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Re: EXO 10 LLG

Message par s89ne » jeu. août 02, 2018 2:17 am

Merci beaucoup Nabuco et matmeca_mcf1!!
Je n'avais pas pensé à passer de Un >= n à Un >= n+1 puisque Un est un entier.
Cela est très bien vu, encore merci, vos réponses m'aident beaucoup à progresser. <3 <3
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