Exercice demonstration irrationnalité

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s89ne
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Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » mar. août 07, 2018 3:35 pm

Bonjour à tous,
Dans l'exo 13 du pdf LLG ci-dessous, on demande de "généraliser" a partir de la démonstration que racine de 3 est irrationnel.

Exercice 13 (AD). Montrer que √3 est irrationnel. Généraliser.

Sauf, que je ne comprend pas exactement ce que généraliser veut dire dans ce contexte... Voilà donc ce que j'ai produit mais je ne sais pas si c'est assez général ou si je ne traite que le simple cas où n est un entier naturel.
Merci de m'éclairer =D :
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J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.

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bullquies
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par bullquies » mar. août 07, 2018 3:50 pm

il y a une faute apres a^2 =kn


que vaut k, si tu remplaces a^2 par kn dans l'équation de départ ?

Luckyos
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Luckyos » mar. août 07, 2018 3:58 pm

A partir de \( \frac{k}{a^2} = n \) c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour \( n \) qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser \( a|nb^2 \) en exploitant l'hypothèse sur \( a \) et \( b \).
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s89ne
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » mar. août 07, 2018 5:10 pm

Tout d'abord, merci beaucoup bullquies et Luckyos pour vos réponse! =D
Luckyos a écrit :
mar. août 07, 2018 3:58 pm
A partir de \( \frac{k}{a^2} = n \) c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour \( n \) qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser \( a|nb^2 \) en exploitant l'hypothèse sur \( a \) et \( b \).
Je pense avoir réussi à résoudre le problème.
a|nb².
Puisque PGCD(a,b)=1, a|n
Donc n=ka avec k∈N
On a alors kb²=a
Ce qui donne : (kb)²=ka=n
Ce qui est absurde car n n'est pas le carré d'un entier.
Donc √n∉Q

Ma démo est-elle bonne?
Merci <3
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.

Luckyos
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Luckyos » mar. août 07, 2018 5:22 pm

s89ne a écrit :
mar. août 07, 2018 5:10 pm
Tout d'abord, merci beaucoup bullquies et Luckyos pour vos réponse! =D
Luckyos a écrit :
mar. août 07, 2018 3:58 pm
A partir de \( \frac{k}{a^2} = n \) c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour \( n \) qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser \( a|nb^2 \) en exploitant l'hypothèse sur \( a \) et \( b \).
Je pense avoir réussi à résoudre le problème.
a|nb².
Puisque PGCD(a,b)=1, a|n
Donc n=ka avec k∈N
On a alors kb²=a
Ce qui donne : (kb)²=ka=n
Ce qui est absurde car n n'est pas le carré d'un entier.
Donc √n∉Q

Ma démo est-elle bonne?
Merci <3
Oui c'est bon !

Une autre façon assez pratique de démontrer le résultat :

Puisque \( n \) n'est pas un carré, il existe \( p \) premier tel que l'exposant de \( p \) dans la dfp (décomposition en facteurs premiers) de \( n \) soit impair.
En passant à l'exposant de \( p \) dans la dfp (que l'on appelle valuation p-adique) dans l'égalité \( nb^2 = a^2 \) : on a un entier impair à gauche et un entier pair à droite, ce qui est absurde.
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Samuel.A
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Samuel.A » mar. août 07, 2018 6:54 pm

J'aime beaucoup la dernière démonstration proposée je n'en avait jamais vu de telle sorte c'est super ! :D
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par oty20 » mar. août 07, 2018 9:00 pm

tu peux aussi remarquer qu'il s'agit d'une déscente infinie
Modifié en dernier par oty20 le mer. août 08, 2018 4:07 pm, modifié 1 fois.
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » mar. août 07, 2018 11:18 pm

Luckyos a écrit :
mar. août 07, 2018 5:22 pm
s89ne a écrit :
mar. août 07, 2018 5:10 pm
Tout d'abord, merci beaucoup bullquies et Luckyos pour vos réponse! =D
Luckyos a écrit :
mar. août 07, 2018 3:58 pm
A partir de \( \frac{k}{a^2} = n \) c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour \( n \) qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser \( a|nb^2 \) en exploitant l'hypothèse sur \( a \) et \( b \).
Je pense avoir réussi à résoudre le problème.
a|nb².
Puisque PGCD(a,b)=1, a|n
Donc n=ka avec k∈N
On a alors kb²=a
Ce qui donne : (kb)²=ka=n
Ce qui est absurde car n n'est pas le carré d'un entier.
Donc √n∉Q

Ma démo est-elle bonne?
Merci <3
Oui c'est bon !

Une autre façon assez pratique de démontrer le résultat :

Puisque \( n \) n'est pas un carré, il existe \( p \) premier tel que l'exposant de \( p \) dans la dfp (décomposition en facteurs premiers) de \( n \) soit impair.
En passant à l'exposant de \( p \) dans la dfp (que l'on appelle valuation p-adique) dans l'égalité \( nb^2 = a^2 \) : on a un entier impair à gauche et un entier pair à droite, ce qui est absurde.
Désolé, je ne comprend pas bien la démonstration :/
Que veut dire "en passant à l'exposant de \( p \) dans la décomposition en facteurs premiers" ?
Pourriez-vous s'il vous plait, me donner un exemple pour que je comprenne mieux?
Merci beaucoup pour votre aide
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Luckyos » mer. août 08, 2018 12:24 am

L'exposant de \( p \) dans la décomposition en facteurs premiers (qui existe et est unique) de \( n \) se note \( v_p(n) \) (tu le verras en sup).
Par exemple pour \( n = 90 = 2*3^2*5 \) : \( v_3(n) = 2 \) , \( v_{31}(n) = 0 \) et \( v_5(n) = 1 \) .

Ici on a \( nb^2 = a^2 \), donc \( v_p(nb^2) = v_p(a^2) \) (je suis passé à la valuation \( p \)-adique).

Or, \( v_p(xy) = v_p(x)*v_p(y) \) (il suffit de faire le produit des dfp de \( x \) et \( y \) et d'exploiter l'unicité de la décomposition).
D'où \( v_p(n) + 2*v_p(b) = 2*v_p(a) \) avec \( v_p(n) \) impair, ce qui est absurde.
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » mer. août 08, 2018 1:01 am

Luckyos a écrit :
mer. août 08, 2018 12:24 am
L'exposant de \( p \) dans la décomposition en facteurs premiers (qui existe et est unique) de \( n \) se note \( v_p(n) \) (tu le verras en sup).
Par exemple pour \( n = 90 = 2*3^2*5 \) : \( v_3(n) = 2 \) , \( v_{31}(n) = 0 \) et \( v_5(n) = 1 \) .

Ici on a \( nb^2 = a^2 \), donc \( v_p(nb^2) = v_p(a^2) \) (je suis passé à la valuation \( p \)-adique).

Or, \( v_p(xy) = v_p(x)*v_p(y) \) (il suffit de faire le produit des dfp de \( x \) et \( y \) et d'exploiter l'unicité de la décomposition).
D'où \( v_p(n) + 2*v_p(b) = 2*v_p(a) \) avec \( v_p(n) \) impair, ce qui est absurde.
Trés, trés claire explication, merci infiniment!!! :D :D
Cette démonstration est tellement jolie et, assez bizarrement, très intuitive.
Bref, encore merci et bonne soirée :D
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par oty20 » mer. août 08, 2018 2:15 am

Euh plus intuitive serait :

De \( nb^{2}=a^{2} \) , \( pgcd(a,b)=1 \) donc \( pgcd(a^{2},b^{2})=1 \)

d'une part\( n|a^{2} \)
d'autre part \( a^{2}|nb^{2} \) donc d’après gauss \( a^{2}|n \) donc \( |n|=|a^{2}| \) d'ou \( n=a^{2} \) ce qui est exclu.
-sup: public -> Spé:chez moi.
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Re: Exercice demonstration irrationnalité - par descente infinie

Message par U46406 » mer. août 08, 2018 10:38 am

oty20 a écrit :
mar. août 07, 2018 9:00 pm
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par oty20 » mer. août 08, 2018 4:08 pm

Merci c'est édité
-sup: public -> Spé:chez moi.
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