Connexité

[razdou]

Bonsoir j’ai un exos ou je dois montrer E/(0) est connexe par arc je réfléchis je prends 2 éléments x et y dans E/(0) et je trouve un chemin (celle de [0,1] dans E/(0),qui a t associé 1-t*x+ty. , sauf que on me dit il faut traiter le cas ou x et y est libre je me dit c’est différent de 0 y’a un chemin sauf qu’apres On me dit oue prend un z appartenant à E/Vect(x,y) montre que (x,z) et (y,z) sont libre ét conclut ! Cette dernière étape je ne la comprend pas help ?

[oty20]

Euh c'est quoi E ? un espace vectoriel de dimension au moins 2 j'imagine d’après la notation E\vect(x,y) .

dans ce cas pour un espace de dimensions au moin 2 , si tu prends deux vecteurs x et y alors il va exister un plan qui les contiendras,

le problème est donc équivalent a un plan que tu as troué en son centre, si tu prends deux points de ce plan disons A et B est ce que tu pourras toujours passé de A à B sans tombé dans le trou ? oui tu as deux cas si le segment [AB] ne contient pas le troue alors tu longes le chemin [AB] sinon il suffit de contourné le trou pense à un triangle .


si on retranscrit cela à ton problème le cas (x,y) libre correspond au fait que le segment [AB] ne contient pas de trou .
tu prends donc ton paramétrage de début $ (1-t)x+ty $ on est sure de jamais passais par $ 0 $ car si il existe t tel que :
$ (1-t)x+ty=0 $ cela contredirait la liberté de la famille $ (x,y) $

sinon si $ (x,y) $ est liée il faut pensé au triangle pour passer de x à y on passe d'abord par z , tu prends comme chemin la concaténation des deux chemins d'abord de x à z puis de z à y .
$ f(t)=(1-2t)z+2tx , t \in [0,\frac{1}{2}] $ puis $ (2t-1)y+ (1-t)2z , t \in [\frac{1}{2},1] $

$ f(\frac{1}{2})=x $ et $ f(1)=y $

[razdou]

Ah je comprend mais c’est un peu long et le chemin est assez complexe à trouver , j’ai du mal à visualisé E/vect(x,y) cela représente quoi de manière visuelle . Après tu n’a pas un problème de continuité en 1/2 avec tes chemins et derniers point ne serait il pas plus simple de reprendre le meme parametrage que le 1 er chemin en montrant que (x,z) et (z,y) sont libre ??

[razdou]

Et dernière question pour le moins bête mais un chemin joignant x a y et un chemin joignant y a x c’est la même chose ?

[JeanN]

Quelle est ta définition d’un chemin qui relie x à y ?

[oty20]

Après tu n’a pas un problème de continuité en 1/2 avec tes chemins et derniers point ne serait il pas plus simple de reprendre le meme parametrage que le 1 er chemin en montrant que (x,z) et (z,y) sont libre ??

oui désolé j'ai rédigé à la vite , $ f(t)=(1-2t)x+2t z , t \in [0,\frac{1}{2}] $
$ f(t)=2(1-t)z+(2t-1)y , ~~ t \in [\frac{1}{2},1] $

$ f(0)=x $ $ f(1)=y $ et plus de problème en $ \frac{1}{2} $ , la longueur vient de l'explication.

[matmeca_mcf1]

Faites un dessin. Remplacez $ E $ par $ \mathbb{R}^2 $. Enlevez l'origine du plan. Vous prenez alors deux points A et B. Dessinez le segment [AB]. Soit le segment [AB] ne passe pas par l'origine, auquel cas c'est fini. Soit il passe par l'origine et on va choisir un point X du plan qui n'est sur la droite qui passe par A et B. Dessinez alors les segments [AX] et [XB].

[Nicolas Patrois]

Un arc de cercle marche aussi bien.

[oty20]

et la paramétrisation de cette arc serait ? le fait qu'on parle que d'application linéaire en spé a eu tendance de me faire pensé qu'on peut pas se déplacer sur une courbe dans un EV

[Nicolas Patrois]

Et pourquoi donc ? Un segment n’est pas une courbe ?