Équations différentiels
Équations différentiels
Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
Re: Équations différentiels
La démarche naturelle est de remplacer l'EDO scalaire d'ordre 2 par une EDO vectorielle d'ordre 1, puis de calculer une exponentielle de matrice.
Il parait que les matrices sont vues en spé maths en terminale maintenant. Par contre, je ne pense pas que les exponentielles de matrices soient au programme. D'ailleurs, sont-elles encore au programme en sup/spé?
Il parait que les matrices sont vues en spé maths en terminale maintenant. Par contre, je ne pense pas que les exponentielles de matrices soient au programme. D'ailleurs, sont-elles encore au programme en sup/spé?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Équations différentiels
Ton prof en fera la démonstration en cours. Patiente un peuVeryDarkus a écrit : ↑08 août 2018 15:59Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Équations différentiels
Bon si l'équation caractéristique a une racine double $ r $ es-tu d'accord pour dire que $ y_1 (x) = exp(-rx) $ est une solution de l'équadiff ? Le souci c'est d'en trouver une deuxième qui ne soit pas linéairement dépendante de celle-là.
Pour ça on fait une petite transformation très utile. On cherche une nouvelle fonction solution $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $. Le but étant de trouver $ v $.
A toi de calculer $ y_2 ' $ et $ y_2 '' $, d'insérer dans l'équation différentielle et de voir ce que tu trouves pour $ v(x) $- Tu verras que tu passes d'une équation différentielle d'ordre 2 à une équation différentielle d'ordre 1.
Pour ça on fait une petite transformation très utile. On cherche une nouvelle fonction solution $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $. Le but étant de trouver $ v $.
A toi de calculer $ y_2 ' $ et $ y_2 '' $, d'insérer dans l'équation différentielle et de voir ce que tu trouves pour $ v(x) $- Tu verras que tu passes d'une équation différentielle d'ordre 2 à une équation différentielle d'ordre 1.
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Équations différentiels
Je suis pas sûr de suivre. Comment je pourrais me retrouver passer à une équa diff d'ordre 1 alors que la dérivée seconde de $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $ aura forcément un v''(x) ?bullquies a écrit : ↑08 août 2018 17:47Bon si l'équation caractéristique a une racine double $ r $ es-tu d'accord pour dire que $ y_1 (x) = exp(-rx) $ est une solution de l'équadiff ? Le souci c'est d'en trouver une deuxième qui ne soit pas linéairement dépendante de celle-là.
Pour ça on fait une petite transformation très utile. On cherche une nouvelle fonction solution $ y_2 (x) = v(x) y_1 (x) $. Le but étant de trouver $ v $.
A toi de calculer $ y_2 ' $ et $ y_2 '' $, d'insérer dans l'équation différentielle et de voir ce que tu trouves pour $ v(x) $- Tu verras que tu passes d'une équation différentielle d'ordre 2 à une équation différentielle d'ordre 1.
Re: Équations différentiels
c'est une équa diff d'ordre 1 en $ v' $ (après il suffit d'intégrer facilement)
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Équations différentiels
Bonjour
Si tu veux, tu peux regarder http://www.les-maths-en-prepas.fr/Cours ... reChapitre
Bonne soirée.
Si tu veux, tu peux regarder http://www.les-maths-en-prepas.fr/Cours ... reChapitre
Bonne soirée.
Re: Équations différentiels
Je vais essayer de te faire une preuve claire et concise:VeryDarkus a écrit : ↑08 août 2018 15:59Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
Si le polynôme caractéristique est $ P=(X-c)^2=X^2-2cX+c^2 $, l'équation différentielle est $ f''-2cf'+c^2f=0 $.
L'idée est de se ramener au cas c=0 que l'on sait résoudre.
Pour cela on effectue un changement de variable en posant $ y(t)=f(t)exp(-ct) $, i.e. $ f(t)=y(t)exp(ct) $.
L'équation différentielle sur f donne alors $ (y''(t)+2cy'(t)+c^2y(t))exp(ct)-2c(cy(t)+y'(t))exp(ct)+c^2y(t)exp(ct) = 0 $
i.e. $ y''=0 $
CCL: $ f(t)=exp(ct)y(t) $ où y est une fonction affine
Nothing happened.
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L3 Maths-Info
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Re: Équations différentiels
Ah oui en plus il risque peut être d'être dans votre classe...JeanN a écrit : ↑08 août 2018 17:06Ton prof en fera la démonstration en cours. Patiente un peuVeryDarkus a écrit : ↑08 août 2018 15:59Bonjour,
J'ai du mal à comprendre pourquoi les solutions d'une equation différentiel du second ordre dont le discriminant de son equation caractéristique est nul ont la formes (a*x+b)*exp(c*x). C'est surtout le a*x+b qui me chiffonne. Je ne vois pas la logique de la démarche pour arriver à ce résultat alors que pour le discriminant posifit et négatif je trouve cela tout à fait logique.
Je précise que je vais rentrer en MPSI, je n'ai peut être pas le bagage nécessaire pour comprendre.
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