Polynome annulateur minimal

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Polynome annulateur minimal

Message par ahmedata10 » 14 août 2018 16:33

Salut. Est ce que le polynôme minimal d'une matrice réel change si l'en considère dans Mn(C) ou Mn(R).
Merci .

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Re: Polynome annulateur minimal

Message par matmeca_mcf1 » 14 août 2018 16:59

Oui. Cela peut se voir avec l'unicité des facteurs invariants d'une matrice mais cela dépasse très largement le programme de la prépa. Voici les références mais il vaut mieux éviter de les consulter sauf si vous êtes très à l'aise avec les outils de prépa.
SPOILER:
Conséquence de la démo du Corollaire 3.7 dans http://math.univ-lille1.fr/~serman/agre ... eCours.pdf. L'un de facteurs invariants (le premier) est le polynôme minimal. Cela marche pour n'importe quels corps $ k\subset K $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Polynome annulateur minimal

Message par ahmedata10 » 14 août 2018 18:12

Dattier a écrit :
14 août 2018 16:56
Salut,

Si P(x) polynôme minimale de M, dans C[x] et Q(x) polynôme minimale de M, alors P(x)|Q(x) en effet sinon Q(X) mod P(X) non nul, serait un polynôme dans C annulateur plus petit en dégré (pas possible).

$ P(M)+\overline{P(M)}=E(M) $ un polynôme annulateur réel, de même degré que P, et P(x)|E(x) de même degré donc $a\times E(x)=P(x)$, $a$ dans C.


Cordialement.
Merci

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Re: Polynome annulateur minimal

Message par ahmedata10 » 14 août 2018 18:15

matmeca_mcf1 a écrit :
14 août 2018 16:59
Oui. Cela peut se voir avec l'unicité des facteurs invariants d'une matrice mais cela dépasse très largement le programme de la prépa. Voici les références mais il vaut mieux éviter de les consulter sauf si vous êtes très à l'aise avec les outils de prépa.
SPOILER:
Conséquence de la démo du Corollaire 3.7 dans http://math.univ-lille1.fr/~serman/agre ... eCours.pdf. L'un de facteurs invariants (le premier) est le polynôme minimal. Cela marche pour n'importe quels corps $ k\subset K $.
Merci

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Re: Polynome annulateur minimal

Message par ahmedata10 » 14 août 2018 18:21

ahmedata10 a écrit :
14 août 2018 18:12
Dattier a écrit :
14 août 2018 16:56
Salut,

Si P(x) polynôme minimale de M, dans C[x] et Q(x) polynôme minimale de M, alors P(x)|Q(x) en effet sinon Q(X) mod P(X) non nul, serait un polynôme dans C annulateur plus petit en dégré (pas possible).

$ P(M)+\overline{P(M)}=E(M) $ un polynôme annulateur réel, de même degré que P, et P(x)|E(x) de même degré donc $a\times E(x)=P(x)$, $a$ dans C.


Cordialement.
Merci
les deux premieres lignes suffisent non ? Et de + pourquoi si p annule M alors $ \overline{P(M)}=0 $

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Re: Polynome annulateur minimal

Message par ahmedata10 » 14 août 2018 22:29

Dattier a écrit :
14 août 2018 18:30
ahmedata10 a écrit :
14 août 2018 18:21
Et de + pourquoi si p annule M alors $ \overline{P(M)}=0 $
Car $ \overline{0}=0 $
oay j'ai un peu de confusion :3

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