Triangle des sommes de puissances

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kakille
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Triangle des sommes de puissances

Message par kakille » ven. août 17, 2018 4:32 pm

Hello,

je partage avec vous un truc que je ne connaissais pas il y a peu. D'ailleurs, je ne sais pas si la chose est si bien connue.

Voici un tableau de nombres :

\( \begin{array} {ccccc}

1& &&&\\
1& 1& &\\
1&3&2&&\\
1&7&12&6&\\
1&15&50& 60&24

\end{array} \)

Voici comment il est engendré : sur la première colonne, on écrit des 1. Ensuite, si on prend un nombre quelconque du tableau (exemple : 7), qu'on le multiplie par son numéro de colonne (7×2) , qu'on ajoute le produit de son voisin de droite par son numéro de colonne (12×3), alors on obtient le voisin en bas à droite du nombre choisi au départ (50). Remarque : s'il n'y a pas de voisin de droite sur la même ligne, considérer qu'il y en a un quand même et qu'il vaut 0 (exemple : 2×3+0×4=6).

Voici à quoi sert ce tableau :

\( 1^0+2^0+\cdots+n^0=1 \times {n\choose 1} \)
\( 1^1+2^1+\cdots+n^1=1 \times {n\choose 1} +1 \times {n\choose 2} \)
\( 1^2+2^2+\cdots+n^2=1 \times {n\choose 1} +3 \times {n\choose 2}+2\times {n\choose 3} \)
\( 1^3+2^3+\cdots+n^3=1 \times {n\choose 1} +7 \times {n\choose 2}+12\times {n\choose 3}+6\times {n\choose 4} \)
\( 1^4+2^4+\cdots+n^4=1 \times {n\choose 1} +15 \times {n\choose 2}+50\times {n\choose 3}+60\times {n\choose 4}+24\times{n\choose 5} \)

Un exercice : expliquer.
Modifié en dernier par kakille le sam. août 18, 2018 9:12 am, modifié 1 fois.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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Re: Triangle des sommes de puissances

Message par Dattier » ven. août 17, 2018 4:36 pm

Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

kakille
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Re: Triangle des sommes de puissances

Message par kakille » ven. août 17, 2018 4:41 pm

Hello,

dans cette page, je ne vois pas de rapport clair avec le tableau proposé. Si tu en vois un, peux-tu préciser stp ?
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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Re: Triangle des sommes de puissances

Message par Dattier » ven. août 17, 2018 4:49 pm

Oui, tu as raison, on explicite les coeffs du polynôme, en n, correspondant qui n'est pas de la forme que tu présentes.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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