Triangle des sommes de puissances

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Triangle des sommes de puissances

Message par kakille » 17 août 2018 16:32

Hello,

je partage avec vous un truc que je ne connaissais pas il y a peu. D'ailleurs, je ne sais pas si la chose est si bien connue.

Voici un tableau de nombres :

$ \begin{array} {ccccc}

1& &&&\\
1& 1& &\\
1&3&2&&\\
1&7&12&6&\\
1&15&50& 60&24

\end{array} $

Voici comment il est engendré : sur la première colonne, on écrit des 1. Ensuite, si on prend un nombre quelconque du tableau (exemple : 7), qu'on le multiplie par son numéro de colonne (7×2) , qu'on ajoute le produit de son voisin de droite par son numéro de colonne (12×3), alors on obtient le voisin en bas à droite du nombre choisi au départ (50). Remarque : s'il n'y a pas de voisin de droite sur la même ligne, considérer qu'il y en a un quand même et qu'il vaut 0 (exemple : 2×3+0×4=6).

Voici à quoi sert ce tableau :

$ 1^0+2^0+\cdots+n^0=1 \times {n\choose 1} $
$ 1^1+2^1+\cdots+n^1=1 \times {n\choose 1} +1 \times {n\choose 2} $
$ 1^2+2^2+\cdots+n^2=1 \times {n\choose 1} +3 \times {n\choose 2}+2\times {n\choose 3} $
$ 1^3+2^3+\cdots+n^3=1 \times {n\choose 1} +7 \times {n\choose 2}+12\times {n\choose 3}+6\times {n\choose 4} $
$ 1^4+2^4+\cdots+n^4=1 \times {n\choose 1} +15 \times {n\choose 2}+50\times {n\choose 3}+60\times {n\choose 4}+24\times{n\choose 5} $

Un exercice : expliquer.
Dernière modification par kakille le 18 août 2018 09:12, modifié 1 fois.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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Re: Triangle des sommes de puissances

Message par kakille » 17 août 2018 16:41

Hello,

dans cette page, je ne vois pas de rapport clair avec le tableau proposé. Si tu en vois un, peux-tu préciser stp ?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

Alain Badiou, Eloge des mathématiques.

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