Exercice d'orale de mines

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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ahmedata10
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Exercice d'orale de mines

Message par ahmedata10 » sam. août 18, 2018 5:49 pm

Salut. Mon amis qui a passé les concours cet année a eu cet exercice a l'orale (mines) :
Soit E un R espace vectorielle et u une application linéaire qui vérifie u^3=Identité . Décrire les sous espace stable par u .
j'ai pas peu résoudre cet exercice et je demande votre aide .
( j 'ai montre que si F est stable par u alors si on pose
F1 = F ∩ Ker(u − Id)
et
F2 = F ∩ Ker(u^2+u+Id)
alors F =F1+F2 puis je bloque )
Merci.

Nabuco
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par Nabuco » dim. août 19, 2018 2:13 am

ahmedata10 a écrit :
sam. août 18, 2018 5:49 pm
Salut. Mon amis qui a passé les concours cet année a eu cet exercice a l'orale (mines) :
Soit E un R espace vectorielle et u une application linéaire qui vérifie u^3=Identité . Décrire les sous espace stable par u .
j'ai pas peu résoudre cet exercice et je demande votre aide .
( j 'ai montre que si F est stable par u alors si on pose
F1 = F ∩ Ker(u − Id)
et
F2 = F ∩ Ker(u^2+u+Id)
alors F =F1+F2 puis je bloque )
Merci.
Déjà il faut penser que u est diagonalisable
En fait si F est un espace stable et si on note v l'application u restreinte et corestreinte à F, alors v^3=id et v est donc aussi diagonalisable. Les espaces stables de dimension 0 et 3 sont évidents. Pour la dimension 1 et 2 on s en sort en étudiant les valeurs propres

kakille
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par kakille » lun. août 20, 2018 6:20 pm

Hello Nabuco,

peux-tu expliquer pourquoi \( u \) doit être diagonalisable (dans le plan euclidien, la rotation d'angle \( 2\pi/3 \) n'est pas diagonalisable) et pourquoi les sous-espaces stables de dimension 3 sont évidents (il n'est fait aucune mention de la dimension dans l'énoncé) ?
Congrès international des mathématiciens, Vierzon 2018. Repas de clôture. Villani, un peu bourré, à Tao :
"Hey Terence, do you connais la capitale de la Twerkie ?
- No Cédric. Didn't know it was a costume party this year.
- Hissetonboul.
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Nabuco
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par Nabuco » mar. août 21, 2018 12:16 pm

kakille a écrit :
lun. août 20, 2018 6:20 pm
Hello Nabuco,

peux-tu expliquer pourquoi \( u \) doit être diagonalisable (dans le plan euclidien, la rotation d'angle \( 2\pi/3 \) n'est pas diagonalisable) et pourquoi les sous-espaces stables de dimension 3 sont évidents (il n'est fait aucune mention de la dimension dans l'énoncé) ?
C diagonalisable

Nabuco
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par Nabuco » mar. août 21, 2018 12:49 pm

Par contre désolé pour la dimension je n avais pas vu. En fait si on prend F un espace stable u restreint à F est C semblable à une matrice diagonale avec des 1 puis des blocs diagonaux 2*2 avec j et j^2. La matrice B=
0 1
-1 -1
Est C semblable au bloc diagonal précédent. Donc La matrice de u restreinte à F estC semblable à une matrice diagonale par bloc avec des 1 puis des blocs de la forme de B. Elle est donc R semblable à la même matrice. Donc F est somme de vecteurs propres associés à 1 et de plande la forme vect(a,b) avec a et b libres et u(a)=-b et u(b)=a-b. Réciproquement ces espaces sont stables

kakille
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par kakille » mar. août 21, 2018 2:41 pm

Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.
Congrès international des mathématiciens, Vierzon 2018. Repas de clôture. Villani, un peu bourré, à Tao :
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Nabuco
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par Nabuco » mar. août 21, 2018 2:49 pm

kakille a écrit :
mar. août 21, 2018 2:41 pm
Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.
J ai du mal à croire que l exo ne soit pas en dimension finie, surtout aux mines. Je pense que cette hypothèse manque à l énoncé, sinon l énoncé ne doit pas être faisable (au moins niveau prépa).

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Re: Exercice d'orale de mines

Message par ahmedata10 » mer. août 22, 2018 1:41 am

Nabuco a écrit :
mar. août 21, 2018 2:49 pm
kakille a écrit :
mar. août 21, 2018 2:41 pm
Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.
J ai du mal à croire que l exo ne soit pas en dimension finie, surtout aux mines. Je pense que cette hypothèse manque à l énoncé, sinon l énoncé ne doit pas être faisable (au moins niveau prépa).
desole il est de dimension finie

ahmedata10
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par ahmedata10 » mer. août 22, 2018 1:42 am

Nabuco a écrit :
mar. août 21, 2018 2:49 pm
kakille a écrit :
mar. août 21, 2018 2:41 pm
Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.
J ai du mal à croire que l exo ne soit pas en dimension finie, surtout aux mines. Je pense que cette hypothèse manque à l énoncé, sinon l énoncé ne doit pas être faisable (au moins niveau prépa).
Merci

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Re: Exercice d'orale de mines

Message par kakille » jeu. août 23, 2018 10:27 am

Hello Nabuco,

dis-tu que l'on peut trouver quatre réels \( a,b,c,d \) tels que la matrice \( P:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \) soit inversible et tels que \( \begin{pmatrix} j & 0 \\ 0 & j^2\end{pmatrix} P=P\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix} \) ?
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par Nabuco » jeu. août 23, 2018 4:59 pm

Absolument pas. Elles sont C conjuguées par le polynôme caractéristique. Cz que je dis ensuite c est que la matrice de u restreinte à F est réelle et C conjuguée à une matrice avec les blocs données (qui est réelle). Dans ce cas elles sont aussi R conjuguées car réelles.

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Re: Exercice d'orale de mines

Message par kakille » jeu. août 23, 2018 9:06 pm

Une preuve sans hors-programme ?
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par darklol » jeu. août 23, 2018 10:00 pm

Si \( A = P^{-1} B P \) avec \( P \in GL_n(\mathbb{C}), A, B \in M_n(\mathbb{R}) \), on a \( PA = BP \), ensuite tu décomposes \( P = T + iS \) et en identifiant parties réelles et imaginaires de chaque coefficient des deux côtés de l'égalité tu obtiens: \( TA = BT \) et \( SA = BS \). Puis, tu observes que
\( \mathbb{C} \ni \lambda \longmapsto \text{det}(T + \lambda S) \) est une fonction polynomiale non identiquement nulle car \( \text{det}(T + iS) \neq 0 \), donc en particulier il existe \( \lambda \in \mathbb{R} \) tel que \( \text{det}(T + \lambda S) \neq 0 \) ce qui termine la preuve en posant comme nouvelle matrice de passage \( Q = T + \lambda S \).
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par Dattier » jeu. août 23, 2018 10:11 pm

@Darkol : excellent.

kakille
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Re: Exercice d'orale de mines

Message par kakille » jeu. août 23, 2018 10:17 pm

Pardon, je voulais dire : "solution de l'exo d'oral sans hors-programme" et pas "preuve du résultat hors-programme utilisé par Nabuco pour résoudre l'exo d'oral".
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