Exercice d'orale de mines
Re: Exercice d'orale de mines
Absolument pas. Elles sont C conjuguées par le polynôme caractéristique. Cz que je dis ensuite c est que la matrice de u restreinte à F est réelle et C conjuguée à une matrice avec les blocs données (qui est réelle). Dans ce cas elles sont aussi R conjuguées car réelles.
Re: Exercice d'orale de mines
Une preuve sans hors-programme ?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: Exercice d'orale de mines
Si $ A = P^{-1} B P $ avec $ P \in GL_n(\mathbb{C}), A, B \in M_n(\mathbb{R}) $, on a $ PA = BP $, ensuite tu décomposes $ P = T + iS $ et en identifiant parties réelles et imaginaires de chaque coefficient des deux côtés de l'égalité tu obtiens: $ TA = BT $ et $ SA = BS $. Puis, tu observes que
$ \mathbb{C} \ni \lambda \longmapsto \text{det}(T + \lambda S) $ est une fonction polynomiale non identiquement nulle car $ \text{det}(T + iS) \neq 0 $, donc en particulier il existe $ \lambda \in \mathbb{R} $ tel que $ \text{det}(T + \lambda S) \neq 0 $ ce qui termine la preuve en posant comme nouvelle matrice de passage $ Q = T + \lambda S $.
$ \mathbb{C} \ni \lambda \longmapsto \text{det}(T + \lambda S) $ est une fonction polynomiale non identiquement nulle car $ \text{det}(T + iS) \neq 0 $, donc en particulier il existe $ \lambda \in \mathbb{R} $ tel que $ \text{det}(T + \lambda S) \neq 0 $ ce qui termine la preuve en posant comme nouvelle matrice de passage $ Q = T + \lambda S $.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
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Re: Exercice d'orale de mines
Pardon, je voulais dire : "solution de l'exo d'oral sans hors-programme" et pas "preuve du résultat hors-programme utilisé par Nabuco pour résoudre l'exo d'oral".
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: Exercice d'orale de mines
Si c’est un oral des mines, on peut penser que l’examinateur aurait autorisé l’utilisation de ce résultat voir aurait guidé le candidat pour le re-démontrer, car la preuve de Nabuco me semble en effet être la plus intuitive.
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Re: Exercice d'orale de mines
Je trouve cela un peu gênant qu'un point clef de ce raisonnement soit hors-programme, même si l'examinateur est théoriquement là pour guider (l'énoncé ne mentionne pas "qu'on admettra si besoin que si deux matrices réelles sont..." pour aider le candidat dans sa préparation solitaire). Après, ce n'est pas la première fois que la situation se présente.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: Exercice d'orale de mines
En effet, surtout aux mines justement, à l’oral comme à l’écrit!
(Souvenirs de maths 2 concours MP 2014, où l’utilisation de la notion de connexité trivialisait une question censée être difficile, et que le jury a accepté sans broncher comme indiqué dans le rapport)
(Souvenirs de maths 2 concours MP 2014, où l’utilisation de la notion de connexité trivialisait une question censée être difficile, et que le jury a accepté sans broncher comme indiqué dans le rapport)
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