Suite numérique

[GHOST 117]

Bonjour à tous, j'ai des difficultés avec cet exercice:
Soit $ (s_n) $ une suite telle que $ s_0\in [0,1] $ et pour tout entier naturel $ n $, on définit :
$ s_{n+1}=2s_n\,\text {si}\,s_n <\frac {1}{2}\,\text{et}\,s_{n+1}=s_n-\frac {1}{2}\,\text {si}\,s_n\geq\frac{1}{2}.\\ $
a) Démontrer que si $ s_0 $ est rationnel, la suite $ (s_n) $ est périodique à partir d'un certain rang.
b) La reciproque est-elle vraie?
c) Pour quelles valeurs de $ s_0 $ la suite $ (s_n) $ est-elle convergente?

Merci d'avance, cordialement.

[Nabuco]

Bonjour à tous, j'ai des difficultés avec cet exercice:
Soit $ (s_n) $ une suite telle que $ s_0\in [0,1] $ et pour tout entier naturel $ n $, on définit :
$ s_{n+1}=2s_n\,\text {si}\,s_n <\frac {1}{2}\,\text{et}\,s_{n+1}=s_n-\frac {1}{2}\,\text {si}\,s_n\geq\frac{1}{2}.\\ $
a) Démontrer que si $ s_0 $ est rationnel, la suite $ (s_n) $ est périodique à partir d'un certain rang.
b) La reciproque est-elle vraie?
c) Pour quelles valeurs de $ s_0 $ la suite $ (s_n) $ est-elle convergente?

Merci d'avance, cordialement.

Pour la a en fait il suffit de regarder ce que ça donne si s0 est un rationnel sous la forme p/q, et de voir que sn*2q est toujours entier puis conclure.
Pour le b en fait si on note P=2X Q=X-1/2, alors il existe n tel que sn soit un point fixe d une composée de P et Q. On utilise ça pour monter que sn est rationnel et que tous ses antécédents aussi.
Pour la c il faut déjà trouver quelle limite est possible (uniquement 0), et ensuite voir que les suites qui convergent sont stationnaires apcr. Ensuite regarder quels sont les antécédents possibles pour regarder les premiers termes possibles.

[GHOST 117]

Bonjour à tous, j'ai des difficultés avec cet exercice:
Soit $ (s_n) $ une suite telle que $ s_0\in [0,1] $ et pour tout entier naturel $ n $, on définit :
$ s_{n+1}=2s_n\,\text {si}\,s_n <\frac {1}{2}\,\text{et}\,s_{n+1}=s_n-\frac {1}{2}\,\text {si}\,s_n\geq\frac{1}{2}.\\ $
a) Démontrer que si $ s_0 $ est rationnel, la suite $ (s_n) $ est périodique à partir d'un certain rang.
b) La reciproque est-elle vraie?
c) Pour quelles valeurs de $ s_0 $ la suite $ (s_n) $ est-elle convergente?


Merci d'avance, cordialement.

Pour la a en fait il suffit de regarder ce que ça donne si s0 est un rationnel sous la forme p/q, et de voir que sn*2q est toujours entier puis conclure.
Pour le b en fait si on note P=2X Q=X-1/2, alors il existe n tel que sn soit un point fixe d une composée de P et Q. On utilise ça pour monter que sn est rationnel et que tous ses antécédents aussi.
Pour la c il faut déjà trouver quelle limite est possible (uniquement 0), et ensuite voir que les suites qui convergent sont stationnaires apcr. Ensuite regarder quels sont les antécédents possibles pour regarder les premiers termes possibles.

Pour a) j'ai montrer par recurrence que $ (s_n) $ est à termes positifs et que $ 2qs_n\in\mathbb{N} $, mais j'arrive pas à conclure.

[Krik]

On montre facilement que :
1) $ \forall n \in \mathbb{N}, ~ 0 \leq s_n \leq 1 $.
2)S'il existe $ n_1 < n_2 $ tel que $ s_{n_1} =s_{n_2} $, alors la suite est périodique à partir du rang $ n_1 $.

On se sert ensuite de l'indication de Nabuco :

En notant $ p_n=2qs_n \in \mathbb{N} $, on a : $ \forall n \in \mathbb{N}, ~ 0 \leq s_n=\frac{p_n}{2q} \leq 1 $, c'est à dire $ 0 \leq p_n \leq 2q $. Il n'y a donc qu'un nombre fini de $ p_n $ possibles. La suite $ (p_n) $ est donc non injective et le point 2) est vérifié, ce qui permet de conclure.

[GHOST 117]

On montre facilement que :
1) $ \forall n \in \mathbb{N}, ~ 0 \leq s_n \leq 1 $.
2)S'il existe $ n_1 < n_2 $ tel que $ s_{n_1} =s_{n_2} $, alors la suite est périodique à partir du rang $ n_1 $.

On se sert ensuite de l'indication de Nabuco :

En notant $ p_n=2qs_n \in \mathbb{N} $, on a : $ \forall n \in \mathbb{N}, ~ 0 \leq s_n=\frac{p_n}{2q} \leq 1 $, c'est à dire $ 0 \leq p_n \leq 2q $. Il n'y a donc qu'un nombre fini de $ p_n $ possibles. La suite $ (p_n) $ est donc non injective et le point 2) est vérifié, ce qui permet de conclure.

Très clair, merci.