exercice d'entrainement

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Léo de Nohr
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exercice d'entrainement

Message par Léo de Nohr » mar. août 28, 2018 10:56 am

Bonjour,
Voici un exercice que j'aimerai résoudre pour me mettre dans le bain pour la rentrée :P
Soient \( a,b \in \mathbb{R}, a \le b \).
Soit \( f \in C^0([a,b], \mathbb{R}), \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) \).
Montrer que \( \int^b_a t f(t) dt = \frac{a+b}{2} \int^b_a f(t) dt \).

Je peux faire une analogie avec les fonctions paires, en effet : \( \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) \) revient à dire que \( f \) est "paire" sur \( [a, b] \) centré en \( \frac{a+b}{2} \), mais je vois pas comment m'en sortir après...
Des idées ?
Merci d'avance :)
Modifié en dernier par Léo de Nohr le mar. août 28, 2018 12:30 pm, modifié 1 fois.

Zrun
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Re: exercice d'entrainement

Message par Zrun » mar. août 28, 2018 11:27 am

Un changement de variable bien choisit ...
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zede
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Re: exercice d'entrainement

Message par zede » mar. août 28, 2018 11:30 am

Léo de Nohr a écrit :
mar. août 28, 2018 10:56 am
Bonjour,
Voici un exercice que j'aimerai résoudre pour me mettre dans le bain pour la rentrée :P
Soient \( a,b \in \mathbb{R}, a \le b \).
Soit \( f \in C^0([a,b], \mathbb{R}), \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) \).
Montrer que \( \int^a_b t f(t) dt = \frac{a+b}{2} \int^a_b f(t) dt \).

Je peux faire une analogie avec les fonctions paires, en effet : \( \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) \) revient à dire que \( f \) est "paire" sur \( [a, b] \) centré en \( \frac{a+b}{2} \), mais je vois pas comment m'en sortir après...
Des idées ?
Merci d'avance :)

Une piste:

le changement de variable: x = a + b - t.

(au passage, attention à ton signe pour dx)
Bon courage.

edit: désolé pour le doublon avec la suggestion de Zrun. J'en profite pour mettre la balise spoiler.
edit de l'edit: suppression des balises spoiler (qui ne fonctionnent pas :/)

Léo de Nohr
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Re: exercice d'entrainement

Message par Léo de Nohr » mar. août 28, 2018 12:29 pm

Bah j'ai pensé à ce changement de variable, mais je tourne en rond. J'ai toujours un \( \int_a^b xf(x)dx \) qui traîne dans le tas :/

zede
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Re: exercice d'entrainement

Message par zede » mar. août 28, 2018 12:59 pm

A mon avis, tu fais une erreur de signe.

Quand tu écris le changement de variables: x = a + b - x, que peux-tu dire de dt par rapport à dx ?

Zrun
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Re: exercice d'entrainement

Message par Zrun » mar. août 28, 2018 10:14 pm

Et bien il n’y a pas de problème ... Ne sait-tu pas résoudre une équation du style x=y-x (avec y connu et x inconnu) ? C’est pareil ici ;)
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Léo de Nohr
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Re: exercice d'entrainement

Message par Léo de Nohr » mer. août 29, 2018 1:17 am

Ah oui... certes.. Je suis fatigué, moi... c'est triste, juste avant la rentrée...
Bon bah on va aller dormir un peu ^^"
Merci :)

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