Exercice polytechnique

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Exercice polytechnique

Message par ahmedata10 » 01 sept. 2018 02:49

Salut . J'ai trouvé cet exercice :Soit A une partie convexe et partout dense d’un espace euclidien E. Montrer que A=E. Malheureusement je n'ai pu comprendre cet exo ni la correction .Alors si quelqu'un peu proposer une réponse ou bien m’expliquer les éléments de réponses suivants :

Par l'absurde supposons A =! E.
Il existe un élément a ∈ E tel que a ∉ A. Par translation du problème, on peut supposer a = 0. (??? [1])
Posons n = dim E.
Si Vect(A) est de dimension strictement inférieure à n alors A est inclus dans un hyperplan de E et son adhérence aussi( [2]mais ce n'est vrai que si le hyperplan est fermè !?) . C'est absurde car cela contredit la densité de A.
Si Vect(A) est de dimension n, on peut alors considérer (e1, . . . , en) une base de E formée d'éléments de A.
Puisque 0 ∉ A, pour tout x ∈ A, on remarque : ∀λ ∈ R−, −λx /∈ A (car sinon, par convexité, 0 ∈ A ) ([3] heuh mais comment ?)
j'ai pas compris ses trois points . Je connait que çà prendra de temps de m'expliquer cet xo mais Je serais reconnaissant . (si quelqu'un voulais la suite de reponse il suffit de le dire .)

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Re: Exercice polytechnique

Message par JeanN » 01 sept. 2018 10:09

T’as pas réussi à trouver un livre avec des exos progressifs ?
Tu devrais te concentrer sur le même chapitre pendant un peu plus longtemps et faire d’abord de la technique de base et pas des oraux de l’x.
Dans un autre post, jesaipluki t’a donné un programme assez précis.
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Re: Exercice polytechnique

Message par Nabuco » 01 sept. 2018 10:19

1 vérifier que si a est dans E, A-a est convexe
2 un espace vectoriel en dimension finie est fermé
3 tu peux créer une xombinaison convexe de -lambda x et x valant 0 ( car tu peux créer une combinaison convexe de -lambda et 1 valant 0)

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Re: Exercice polytechnique

Message par ahmedata10 » 01 sept. 2018 15:36

Dattier a écrit :
01 sept. 2018 11:24
Bonjour,
BobbyJoe a écrit :
30 août 2018 21:56
***Révise l'analyse réelle (de 1ère année), consolide avec les notions de convexité (voit les applications "classiques" : Inégalité de Jensen, Inégalité d'Hölder, Inégalité de Minkowski, Inégalité AGM : arithmético-géométrique...)
*Ensuite, lis un cours sur les modes de convergence des séries de fonctions (CVsimple, CVuniforme et CVnormale) et révise les séries (fin du programme de 1ère année avec les critères utiles pour estimer des séries : critère spécial des séries alternées, comparaison série-intégrale)
*Ensuite, apprend les notions relatives aux familles sommables.
Tu peux aussi voir le début de la topologie : ouvert, fermé (caractérisation séquentielle), compacité (caractérisation séquentielle) et connexité (par arcs).
*Pour terminer, révise l'intégration (fonctions CPM) et regarde la notion d'intégrales impropres (sur des intervalles non compacts). Apprend les critères de comparaison utile : Riemann, Bertrand (à savoir faire en exercice)
*Enfin, il faut savoir utiliser le théorème de convergence dominée (une boite noire en prépa) et ses applications aux interversions série-intégrale/série-série (le cas d'étude de la fonction Gamma et ses propriétés usuelles sont à savoir : log-convexité et équation fonctionnelle).
Le but de ce chapitre est de savoir étudier une fonction dite intégrale dépendant d'un paramètre (entre autres...)
***Si tu as le temps : tu peux regarder la notion de fonctions DSE (développable en série entière) et comprendre que la convergence de ces séries est liée (dans les cas gentils) à des comparaisons avec des suites géométriques! Tu peux pousser en regardant en regardant quelques propriétés de ces fonctions particulières : principe des zéros isolés, formule de la moyenne (ou formule de Cauchy)...

Voilà, je pense qu'avec ce programme d'analyse, tu peux déjà bien t'amuser ^^
que veux-tu dire exactement

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Re: Exercice polytechnique

Message par ahmedata10 » 01 sept. 2018 15:39

Nabuco a écrit :
01 sept. 2018 10:19
1 vérifier que si a est dans E, A-a est convexe
2 un espace vectoriel en dimension finie est fermé
3 tu peux créer une xombinaison convexe de -lambda x et x valant 0 ( car tu peux créer une combinaison convexe de -lambda et 1 valant 0)
Merci . 1 et 2 sont clair mais comment une combinaison convexe dont la somme de ces éléments valent 1 peut être nul .

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Re: Exercice polytechnique

Message par ahmedata10 » 01 sept. 2018 18:41

JeanN a écrit :
01 sept. 2018 10:09
T’as pas réussi à trouver un livre avec des exos progressifs ?
Tu devrais te concentrer sur le même chapitre pendant un peu plus longtemps et faire d’abord de la technique de base et pas des oraux de l’x.
Dans un autre post, jesaipluki t’a donné un programme assez précis.
j'ai deja commencé depuis juillet (car j'ai ètè informé que je serais pas capable de réviser ni atteindre le cours pendant 2 mois ) est j'ai travaille bien sur les normes alors j'ai cru que j'aurai capable de faire d'exercice plus durs .

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Re: Exercice polytechnique

Message par BobbyJoe » 02 sept. 2018 09:53

Sinon, il existe une preuve directe du résultat que tu cherches (les idées restent essentiellement les mêmes cependant).

Prend une base orthornomée $ $$\mathcal{B}$ de $ $$E$ (on remarque que l'enveloppe convexe des éléments de cette base forme un convexe d'intérieur non vide : on appelle cela un polytope)

1) Par densité de $ $$A$ dans $ $$E$ on peut créer une base $ $$\mathcal{B}'$ de $ $$E$ formée d'éléments de $ $$A$ (il suffit d'approcher assez finement chaque élément de $ $$\mathcal{B}$, pourquoi?).
2) Il faut alors prouver que si les éléments de $\mathcal{B}'$ sont assez proches de $\mathcal{B}$ alors l'enveloppe convexe des éléments de $ $$\mathcal{B}'$ est encore d'intérieur non vide : attention cependant, ce n'est pas si évident qu'il n'y parait! (c'est ici que le fait d'être en dimension finie intervient!)
3) Tu peux conclure car $ $$A$ est convexe.

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