déterminants

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Nounouvch
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déterminants

Message par Nounouvch » mar. sept. 04, 2018 12:08 am

Salut, dans le premier exemple je ne voie pas d'ou le j sort! Dans la deuxième, c'est en rapport avec le développement suivant une ligne ou une colonne que je ne sais pas trop comment ça marche, un exemple serait le bienvenue! Mercila matrice en question est:

a b c\\
c a b \\
b c a
\end{pmatrix}$
dans la correction, elle se résout en faisant intervenir le nombre complexe j et je sais pas trop pourquoi?

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Skizzy
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Re: déterminants

Message par Skizzy » ven. sept. 07, 2018 6:27 pm

Salut.

Ton message n'est pas du tout clair... Mais j'ai compris que tu parles d'un déterminant circulant \( 3 \times 3 \) à calculer.
L'astuce est d'utiliser une matrice complexe de la forme :
$$ P = (\omega ^{(k−1)(l−1)})_{1\leq k,l \leq n} $$ avec \( \omega = \exp (2i\pi / n) \).

Il y a la démonstration du cas de la matrice \( n \times n \) ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00100.pdf.

Pour \( n = 3 \), on a :
$$ \det A = (a_1 +a_2 +a_3)(a_1 + ja_2 + j^2 a_3)(a_1 + j^2a_2 + ja_3) $$ avec \( j = \exp (2i\pi / 3) \).
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