Somme telescopique et suite d'entier

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Somme telescopique et suite d'entier

Message par Nefi » 09 sept. 2018 12:19

Comme je ne peux pas prendre de photo, je vous écris l'énoncé et les points important afin de vous exposer mon problème :)

On définit la suite d'entiers ($ S_{p}^{n} $) avec :
- $ S_{0}^{0} $ = 1 et pour (p,n) $ \in $ $ \mathbb{N} $* , $ S_{0}^{n} $ = $ S_{p}^{0} $ = 0
- Soit (p,n) $ \in $ $ \mathbb{N} $* . Si n > p alors $ S_{p}^{n} $ = 0
- Soit (p,n) $ \in $ $ \mathbb{N} $* . On a : $ S_{p}^{n} $ = n($ S_{p-1}^{n} $ + $ S_{p-1}^{n-1} $ )

Dans les questions précédentes, on prouve que $ S_{n}^{n} $ = n!
On a $ u_{n} $ = $ S_{n+1}^{n} $ / n!
On prouve aussi que $ u_{k} $ - $ u_{k-1} $ = k

Bon maintenant, la question c'est " En calculant de deux façons la somme $ \sum_{k=1}^{n} $($ u_{k} $-$ u_{k-1} $) . Montrer que : $ S_{n+1}^{n} $ = n(n+1)!/2

La réponse me paraît alors évidente, vu que $ u_{k} $ -$ u_{k-1} $ = k , je peux calculer la somme des k allant de 1 à n , ça me fait bien n(n+1)/2 , puis ensuite je calcule cette somme de la deuxième façons que l'énoncé incite à faire, c'est une somme telescopique , je m'attendais donc à me retrouver avec comme résultat final $ S_{n}^{n} $/n! sauf qu'au lieu de ça je trouve $ S_{n}^{n} $/n! - 1 , le " -1 " vient tout bousiller mon calcul :(

La formule pour calculer la somme telescopique c'est bien : $ u_{n} $ - $ u_{1} $ ( vu qu'on commence par k=1 et qu'on va jusqu'à n )
Du coup si j'écris les thermes avec S , j'obtiens :

$ u_{n} $ - $ u_{1} $ = $ S_{n}^{n+1} $/n! - $ S_{1}^{2} $/1!

Grâce à la troisième règle définis par l'énoncé on peut calculer $ S_{1}^{2} $/1 et on trouve que ça vaut 0

Bon voilà j'ai exagérer les explications ça doit être un bordel j'en suis désolé, mais le truc c'est que je sais que j'ai fais une erreur mais je sais pas du tout elle provient d'où , du coup je vous ais tout expliqué parce que moi ça m'échappe en tout cas :x Peut être que vous cela vous saute aux yeux ? Pourriez vous me guider vers mon erreur s'il vous plaît ?

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Re: Somme telescopique et suite d'entier

Message par Hibiscus » 09 sept. 2018 12:34

Nefi a écrit :
09 sept. 2018 12:19
$ u_{n} $ - $ u_{1} $ = $ S_{n}^{n+1} $/n! - $ S_{1}^{2} $/1!
Pas encore tout lu, mais la, c'est un $ u_0 $, pas $ u_1 $. (la somme commence bien a $ k=1 $, mais c'est $ u_{k-1} $
Edit, et comme $ u_0=0 $, tout s'arrange.
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Re: Somme telescopique et suite d'entier

Message par Nefi » 09 sept. 2018 13:07

Ah bah oui effectivement, je suis allé beaucoup trop vite et j'ai zappé ce détail ,merci beaucoup ! :)

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