raisonner par l'absurde

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neeyz1
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raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » sam. sept. 15, 2018 11:19 pm

Bonsoir tout le monde , je cherche de l'aide pour l'exercice suivant si vous pourriez m'aider merci !

Soit (a,b,c) appartient à [0,1]

Montrer que min(a(1-b),b(1-c),c(1-a))<1/4 ( ou égale )

Ce que je sais c'est que je dois raisonner par l'absurde mais je ne sais pas vraiment quoi faire après , et toutes les valeurs dans le min appartiennent à [0,1]

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oty20
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Re: raisonner par l'absurde

Message par oty20 » sam. sept. 15, 2018 11:30 pm

\( a(1-a)=a-a^{2}=\frac{1}{4}-(a^{2}-a+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}-(a-\frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4} \)


Raisonnons par l'absurde en supposant que \( min(a(1-b),b(1-c),c(1-a)) > \frac{1}{4} \) Alors en faisant le produits comme tous est positifs :

\( a(b-1)b(1-c)c(1-a)=a(1-a) b(1-b) c(1-c) > \frac{1}{4^{3}} \) tu vois la contradiction ?
-sup: public -> Spé:chez moi.
-2018-??? Ecole Central Casablanca.

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neeyz1
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Re: raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » dim. sept. 16, 2018 12:03 am

oui je la vois mais je comprends pas d'ou sort le produit a(1-b)b(1-c)c(1-a)

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oty20
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Re: raisonner par l'absurde

Message par oty20 » dim. sept. 16, 2018 10:05 am

en regardant la forme des termes et comme je connaissais déjà l'inégalité \( a(1-a) < \frac{1}{4} \), il me fallait donc changer l'emplacement des termes \( (1-b) \) par \( (1-a) \) devant \( a \) ainsi de suite pour exploiter cela. j'ai donc penser au produit des termes.


Sinon tu n'as pas besoin de raisonner par l'absurde pour résoudre cette exo, tu peux procéder par disjonctions des cas, ce que je te conseille c'est plus long mais plus formateur, le raisonnement par l'absurde est super mais il faut avoir la bonne idée pour pouvoir le complété.


On peut alléger le raisonnement par disjonction des cas avec le lemme des tiroirs comme suit : on partage \( [0,1] \) en deux tiroirs \( I_{1}=[0,\frac{1}{2}] \) et \( I_{2}=[\frac{1}{2},1] \)

on considère les chaussettes \( \{a,b,c,1-a, 1-b,1-c\} \) :
on a un cas empirique que \( \{a,b,c\} \) soit dans le même le tiroir et \( 1-a,1-b,1-c \) dans l'autre. Dans ce cas considérons
\( \{x_{1},x_{2},x_{3}\} \) une permutation de \( \{a,b,c\} \) tel que \( x_{1}\leq x_{2} \leq x_{3} \) alors comme \( x_{3}(1-x_{3}) \leq \frac{1}{4} \) il vient que \( min(x_{1}(1-x_{3}),x_{2}(1-x_{3})) \leq x_{3} (1-x_{3}) \leq \frac{1}{4} \).

On dehors de ce cas il existe un tiroir qui en contient au moins \( 4 \):
Si ce tiroir est \( I_{1} \) alors on dispose de \( \{x_{1},x_{2},x_{3}\} \) un permutation de \( \{a,b,c\} \) de sorte que :
\( \{x_{1},x_{2},x_{3},1-x_{1}\}\in I_{1} \) et donc \( x_{2} (1-x_{1}) \leq \frac{1}{2^{2}} \) et \( x_{3}(1-x_{1}) \leq \frac{1}{2^{2}} \) l'un deux est un de nos termes donc \( min(a(b-1),..) \leq \frac{1}{4} \)

Si ce tiroir est \( I_{2} \) alors comme \( 1-x_{1} \in I_{2} \) il vient que \( x_{1} \in I_{1} \) et donc \( x_{1}(1-x_{2}) \leq \frac{1}{2^{2}} \) , \( x_{1}(1-x_{3}) \leq \frac{1}{4} \)
Modifié en dernier par oty20 le dim. sept. 16, 2018 2:17 pm, modifié 1 fois.
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Re: raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » dim. sept. 16, 2018 10:14 am

ah c'est beau ! mais dans mon exercice je dois raisonner par l'abuse :c

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Nicolas Patrois
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Re: raisonner par l'absurde

Message par Nicolas Patrois » dim. sept. 16, 2018 11:11 am

Pourquoi tu DOIS raisonner par l’absurde ?
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-

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Re: raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » dim. sept. 16, 2018 11:30 am

c'est le professeur qui a demandé ça :/

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Re: raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » dim. sept. 16, 2018 11:31 am

peut etre je fais l'absurde puis une disjonctions des cas et trouver la contradiction ?

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Re: raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » dim. sept. 16, 2018 12:16 pm

oty20 a écrit :
sam. sept. 15, 2018 11:30 pm
\( a(1-a)=a-a^{2}=\frac{1}{4}-(a^{2}-a+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}-(a-\frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4} \)


Raisonnons par l'absurde en supposant que \( min(a(1-b),b(1-c),c(1-a)) > \frac{1}{4} \) Alors en faisant le produits comme tous est positifs :

\( a(b-1)b(1-c)c(1-a)=a(1-a) b(1-b) c(1-c) > \frac{1}{4^{3}} \) tu vois la contradiction ?
je ne vois pas trop la contradiction car la valeur 1/4-(a-1/2)² peut etre négative je peux pas faire un produit

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Re: raisonner par l'absurde

Message par neeyz1 » dim. sept. 16, 2018 12:17 pm

désolééééééé j'ai pas fait attention c'esst bon !! j'ai trouvé la solution , merci

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