demonstration fonction croissante periodique

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agnesc
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demonstration fonction croissante periodique

Message par agnesc » mar. sept. 18, 2018 11:56 pm

Bonjour,

voici un exercice:

f est une fonction croissante periodique
Montrer par l'absurde qu'elle est constante

Comment dois-je m'y prendre ?

merci

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bullquies
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Re: demonstration fonction croissante periodique

Message par bullquies » mer. sept. 19, 2018 12:13 am

suppose que f soit périodique de période T, et qu'elle prenne deux valeurs différentes par exemple f(a) = y et f(b) = z avec a<b, y<z

trouve un certain point c>b tel que f(c) = f(a) = y et conclus

Ytterbium
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Re: demonstration fonction croissante periodique

Message par Ytterbium » mer. sept. 19, 2018 12:13 am

Suppose qu'elle n'est pas constante, c'est-à-dire qu'elle est strictement croissante. Puis décris mathématiquement ce que tu sais de ta fonction. Tu devrais aboutir à une contradiction, ce qui prouve que ta supposition initiale était fausse : ta fonction est constante.

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siro
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Re: demonstration fonction croissante periodique

Message par siro » mer. sept. 19, 2018 12:18 am

Fais un dessin. Toujours, les dessins. Si ta fonction vaut la même chose pour n'importe quel x et x+T, et qu'elle est croissante, alors elle vaut pareil sur l'intervalle [x,x+T].
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

Tig la Pomme
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Re: demonstration fonction croissante periodique

Message par Tig la Pomme » mer. sept. 19, 2018 3:09 pm

Ytterbium a écrit :
mer. sept. 19, 2018 12:13 am
Suppose qu'elle n'est pas constante, c'est-à-dire qu'elle est strictement croissante. Puis décris mathématiquement ce que tu sais de ta fonction. Tu devrais aboutir à une contradiction, ce qui prouve que ta supposition initiale était fausse : ta fonction est constante.
Attention : une fonction croissante non constante n'est pas nécessairement strictement croissante. Le mieux est de tout écrire avec des quantificateurs pour pouvoir nier aisément.

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siro
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Re: demonstration fonction croissante periodique

Message par siro » mer. sept. 19, 2018 3:54 pm

SPOILER:
f périodique donc il existe T tq pour tout x : f(x) = f(x+T)
comme f est croissante, pour tout y \in [x,x+T], f(x) <= f(y) <= f(x+T) or f(x+T) = f(x)
donc pour tout y \in [x,x+T], f(x) <= f(y) =< f(x) donc f(x) = f(y) donc f constante sur [x,x+T] donc f constante
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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