Les sous-groupes de (Z,+)

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Les sous-groupes de (Z,+)

Message par protozik10012 » 23 sept. 2018 12:11

Bonjour

Pouvez-vous m'expliquer pourquoi les sous groupes de Z sont les nZ?


Merci pour votre aide! :D :D

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Re: Les sous-groupes de (Z,+)

Message par matmeca_mcf1 » 23 sept. 2018 12:29

C'est pour un DM? Soit $ G $ un sous groupe de $ \mathbb{Z} $. Commencez par supposer qu'il existe $ n $ tel que $ G=n\mathbb{Z} $. Cherchez une formule qui vous donne la valeur de $ n $ en fonction de $ G $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Les sous-groupes de (Z,+)

Message par Syl20 » 23 sept. 2018 15:07

"Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ" est un énoncé decomposable en deux sous-énoncés :
-Les nZ sont des sous-groupes
-Si G est un sous-groupe, alors il existe un entier n tel que G=nZ
La preuve du premier point est plutôt facile. Pour le deuxième, tu peux déjà prendre un élément de G, noté g et remarquer que $ g \mathbb{Z} \subset G $. Il s'agit alors de trouver le "bon" g pour que l'autre inclusion soit vraie.
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