espace vectoriel en dimension finie

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espace vectoriel en dimension finie

Message par lililasouris » 26 sept. 2018 21:06

Bonjour,
j'ai une application f lineaire et injective de E dans F.
On sait que F est de dimension finie et Im f = Ker g.

Je dois montrer que E est de dimension finie et que dim E = Rg f
mais à part revenir à la définition d'injectivité je ne vois pas quoi faire...

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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par JeanN » 26 sept. 2018 21:10

f permet de définir un isomorphisme de E vers Im(f)
Im(f) est de dimension finie car...
Donc...
Par ailleurs, le théorème du rang....
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève

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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par lililasouris » 26 sept. 2018 21:43

merci!
j'avais compris que l'image était de dimension finie comme elle est incluse dans F
mais cela justifie le fait que E est de dimension finie aussi?

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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par matmeca_mcf1 » 26 sept. 2018 21:52

Si $ f $ est injective alors $ f $ est un isomophisme entre $ E $ et $ \mathrm{Im}(f) $. Et $ f^{-1} $ envoie n'importe quelle base de $ \mathrm{Im}(f) $ sur une base de $ E $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par Syl20 » 26 sept. 2018 22:01

f est un isomorphisme entre E et Im f. Or la dimension est préservée par isomorphisme.
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