espace vectoriel en dimension finie

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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lililasouris
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espace vectoriel en dimension finie

Message par lililasouris » mer. sept. 26, 2018 9:06 pm

Bonjour,
j'ai une application f lineaire et injective de E dans F.
On sait que F est de dimension finie et Im f = Ker g.

Je dois montrer que E est de dimension finie et que dim E = Rg f
mais à part revenir à la définition d'injectivité je ne vois pas quoi faire...

JeanN
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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par JeanN » mer. sept. 26, 2018 9:10 pm

f permet de définir un isomorphisme de E vers Im(f)
Im(f) est de dimension finie car...
Donc...
Par ailleurs, le théorème du rang....
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

lililasouris
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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par lililasouris » mer. sept. 26, 2018 9:43 pm

merci!
j'avais compris que l'image était de dimension finie comme elle est incluse dans F
mais cela justifie le fait que E est de dimension finie aussi?

matmeca_mcf1
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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par matmeca_mcf1 » mer. sept. 26, 2018 9:52 pm

Si \( f \) est injective alors \( f \) est un isomophisme entre \( E \) et \( \mathrm{Im}(f) \). Et \( f^{-1} \) envoie n'importe quelle base de \( \mathrm{Im}(f) \) sur une base de \( E \).
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Syl20
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Re: espace vectoriel en dimension finie

Message par Syl20 » mer. sept. 26, 2018 10:01 pm

f est un isomorphisme entre E et Im f. Or la dimension est préservée par isomorphisme.
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