Soit $ u_0 \in \mathbb{R}_+^* $. $ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} $. Déterminer un équivalent de la suite u.
Voilà une remarque, pour laquelle je n'ai pu trouver de bibliographie :
On montre aisément que $ u_{n+1} - u_n = o(1) $, ce qui justifie de poser $ du = u_{n+1} - u_n $ (au sens où on a bien la forme d'une différentielle, avec h=1 comme variation). On obtient ainsi, en considérant formellement u comme une fonction d'une variable t, $ du = \dfrac{1}{u} $ donc $ udu = 1 $ et ainsi $ u(t) = 2\sqrt{t} $. Alors si t=n, $ u_n = 2\sqrt{n} $, ce qui est véritablement l'équivalent que l'on trouve quand on fait les choses correctement (il faut bien sûr considérer $ n \to +\infty $).
Il ne me semble pas que ce soit un cas isolé. Qu'en pensez-vous ? Quelle justification pourrait-on donner à cette proposition ? Quels objets construire ? Pour quelle classe de suites cette démarche fonctionne-t-elle ?