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Topologie ouvert

Posté : lun. oct. 01, 2018 10:57 am
par oty20
Bonjour, un ami m’a donné l exo suivant :

Soit A un ouvert borné non vide, de diamètre d tel que A contient une boule ouverte de diamètre d.
Montrer que A est égale à cette boule.

Si a est le centre de cette boule elle est de rayon d/2.
Si on raisonne par l absurde, on peut trouver un x et r> 0 tel que la boule de centre x et de rayon r, disjointe de la boule de centre a et de rayon d/2.

Sur un dessin cela semble visible que si on prend un élément diamètralement opposé à l intersection entre [x,a] et la boule de sorte que ||z-a||=d/2 - t , t suffisament petit , en s’éloignant de x à raison d au moins t , on peut construire deux éléments de A distant de au moins d , ce qui fournirait une contradiction, mais je n’arrive pas à trouver la bonne paramètrisation, je commence à douter que le dessin m induise en erreur, en effet si on prend une ellipse ouverte de grand axe d , incluse dans le disque ouvert de diamètre d fournit un contre exemple si je ne dis pas de bêtises.

Merci pour votre aide.

Re: Topologie ouvert

Posté : lun. oct. 01, 2018 11:59 am
par donnerwetter
Si on prend x dans A mais pas dans B(a,d/2) alors d(x,a)>d/2, et alors d(x,a+(a-x)/d(a,x)*d/2)>d avec a+(a-x)/d(a,x)*d/2 dans B(a,d/2) donc dans A, non ?

Re: Topologie ouvert

Posté : lun. oct. 01, 2018 12:34 pm
par oty20
Bonjour Merci pour ton aide.

Je pense qu on a pas d(x,y) >d(x,z)+ d(z,y) ,
Puis la boule est ouverte elle contient pas d éléments de sorte ||z-a||=d/2 .

Au passage désolé de ne pas avoir précisé on travaille sur un evn

Re: Topologie ouvert

Posté : lun. oct. 01, 2018 3:05 pm
par noro
On peut supposer que la boule est centrée en 0.
S'il existait $ x\in A - B_f(0,d/2) $ alors, pour $ \epsilon>0 $ assez petit, $ -\frac{d}{(2+\epsilon)||x||}x $ serait a une distance > d donc $ A\subset B_f(0,d/2) $ puis puisque A est ouvert il est inclus dans l'intérieur de la boule fermée donc égal a la boule ouverte.

Re: Topologie ouvert

Posté : lun. oct. 01, 2018 3:17 pm
par donnerwetter
On a B(a,d/2) dans A, supposons que la réciproque n'est pas vraie ie il existe x dans A tel que ||x-a||>d/2. Soit e=(a-x)/||x-a|| et $ y=a+(d/2- \eps)*e $ avec $ d> \eps >0 $, un point opposé à x par a dans B(a,d/2) et donc dans A.
$ ||x-y||=||(x-a)(1+(d/2- \eps)/||x-a||)||=||x-a||+d/2-\eps $ > d pour $ \eps $ assez petit, ce qui contredit diam(A)=d.

L'exo intéressant c'est de se demander si ça tient pour tout espace métrique...

EDIT : devancé par noro

Re: Topologie ouvert

Posté : mar. oct. 02, 2018 9:22 am
par oty20
Bonjour je suis déjà passé par ces chemins, il me semble que cela marche pas.

$ ||x-a||=||x-a|| |1+\frac{1}{||x-a||}(\frac{d}{2}-\varepsilon)| $ encore une fois cela utilise le mauvais sens de l'inégalité triangulaire ,

$ |1+\frac{d-2\varepsilon}{2||x-a||}|\geq 1+\frac{d-2\varepsilon}{2||x-a|} $....


@noro j'ai aussi testé de translaté le problème à zéro , il y a toujours le problème d'inégalité si je me trompe pas.

Re: Topologie ouvert

Posté : mar. oct. 02, 2018 11:12 am
par Siméon
Bonjour oty, ici l'inégalité triangulaire n'est pas vraiment pertinente car les vecteurs sont colinéaires : $ \forall \lambda \in \mathbb R_+,\ \|x + \lambda x\| = (1 + \lambda)\cdot \|x\| $

Re: Topologie ouvert

Posté : mar. oct. 02, 2018 1:00 pm
par oty20
Ah oui, oula la gourde :lol: :lol: ! Merci infiniment, j’avais fait comme @donnerwetter en premier lieu je sais pas pourquoi j ai pas remarqué qu on pouvait enlever la valeur absolue plutôt , je m etais trop focaliser sur les vecteurs, mes plus plates excuses @noro et @donnerwetter. Merci infiniment pour votre aide

Re: Topologie ouvert

Posté : mar. oct. 02, 2018 2:59 pm
par JeanN
J'ai l'impression que cette ellipse ne contient pas de boule de diamètre d.

Re: Topologie ouvert

Posté : mar. oct. 02, 2018 10:39 pm
par oty20
Merci beaucoup , en faite par l'ellipse je ne faisais pas référence juste au contour mais à surface :lol: , je pense avoir parvenu à me l'expliquer , cela dépend de la norme j'avais tendance a dire qu'un ouvert en faite, c'est tout ensemble tel que si je choisis un point et que je trouve un voisinage autour de ce point qui reste dans l'ensemble c'est que c'est bon.

Mais dans mon contre exemple : le disque ouvert de centre l'origine et diamètre d par exemple est la boule ouverte de centre $ 0 $ et de rayon $ \frac{d}{2} $pour la norme $ 2 $ , or si $ (E) $ l'intérieur de l'ellipse $ (x,y) \in (E) $ équivaut à une inégalité du type :

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} < 1 $ ce n'est pas la norme $ 2 $ de $ (x,y) $.

Re: Topologie ouvert

Posté : mar. oct. 02, 2018 10:48 pm
par Dattier
Bonsoir,
oty20 a écrit :
mar. oct. 02, 2018 10:39 pm
$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} < 1 $ ce n'est pas la norme $ 2 $ de $ (x,y) $.
Pas la norme 2 canonique, mais cet espace est euclidien (munit d'un produit scalaire)

$ <(x_1,y_1),(x_2,y_2)>=\dfrac{x_1 \times x_2}{a^2}+\dfrac{y_1\times y_2}{b^2} $

-A noter que dans ce cas les angles droit pour ce produit scalaire ne sont pas ceux de la norme 2 classiques.
-Le théorème de pythagore est vrai pour des triangles non rectangles (pour la normes classiques)
-Les cercles sont des ellipses non circulaire dans le sens classique.

Bonne soirée.