Isomorphisme

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Isomorphisme

Message par prepamath » 06 oct. 2018 23:53

Bonjour,

Je m'interroge sur le fait suivant et dont je n'arrive pas à trouver de réponse après avoir tourné et retourné le problème dans ma tête.

Sait-on expliciter un isomorphisme de R dans R tel que pour tous rationnels a,b, cet isomorphisme envoie [a,b] sur un segment de la forme [x,y] avec x et y entiers ?

Merci à tous !
Dernière modification par prepamath le 07 oct. 2018 00:07, modifié 1 fois.

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Re: Isomorphisme

Message par prepamath » 07 oct. 2018 00:08

Dattier a écrit :
06 oct. 2018 23:58
Bonsoir,

Il me semble que ce n'est pas possible en effet si a<b alors [a,b] qui contient une infinité de rationnel, et [x,y] x>y contient un nombre fini d'entier.

Bonne soirée.
Oui pardon, je voulais dire isomorphisme de R dans R

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Re: Isomorphisme

Message par Samuel.A » 07 oct. 2018 02:32

Isomorphisme = bijection croissante ?
Dans ce cas je dirais que Dattier a raison.

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Re: Isomorphisme

Message par JeanN » 07 oct. 2018 08:43

prepamath a écrit :
06 oct. 2018 23:53
Bonjour,

Je m'interroge sur le fait suivant et dont je n'arrive pas à trouver de réponse après avoir tourné et retourné le problème dans ma tête.

Sait-on expliciter un isomorphisme de R dans R tel que pour tous rationnels a,b, cet isomorphisme envoie [a,b] sur un segment de la forme [x,y] avec x et y entiers ?

Merci à tous !
Isomorphisme de quelle structure ?
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Re: Isomorphisme

Message par rickyy » 07 oct. 2018 13:36

Dattier a écrit :
06 oct. 2018 23:58
Bonsoir,

Il me semble que ce n'est pas possible en effet si a<b alors [a,b] qui contient une infinité de rationnel, et [x,y] x>y contient un nombre fini d'entier.

Bonne soirée.
Reste à prouver que la fonction en question préserve l'ordre (ou inverse l'ordre). C'est évident si on parle d'isomorphisme de R-espace vectoriel ou d'anneau, moins si on parle d'isomorphisme de groupe (ou d'isomorphisme de Q-ev, ce qui revient au même).
MPSI-MP*, Hoche -> ENS Rennes, Maths -> Doctorat, chargé de TD à l'ENS Rennes. -> Prof.

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